CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

D'une part cosx', sinæ’ ne peuvent jamais s’évanouir en même temps, à cause de la relation (6); d'autre part, pour z" infini, l’une des exponentielles e*”, e#” est infinie, l’autre infiniment petite. Il en résulte que, si x” est infini, cosx l’est toujours aussi; que sinon x! est infini et cos x indéterminé. Les choses se passent de même pour sinæ. Chacune de ces fonctions possède une singularité essen-

üelle à l'infini (299, snf.).

239. On représente par arc cosæ, arc sinæ, les fonctions inverses uw fournies respectivement par la résolution des équations

(20) COS ERP, (21) Sin ur

On trouverait immédiatement leurs expressions logarithmiques et radicales en réalisant les hypothèses numériques (1), (2) dans la fonction (26) du n° 228, après y avoir écrit æ à la place de w; mais,

T : ; : ; comme on à arc COSæ — > —arcsinx (231), 1l suffit d'étudier

cette dernière fonction, et il vaut mieux la ürer de l’équation (21) transformée par la substitution à sinw de son expression rationnelle en et, fournie par la seconde des relations (3).

Cette équation devient ainsi

(eiu ÿ? — 9 ixeiu — [= 0 et donne d’abord eu = ix + Wi—x?,

puis

(22) = arc sin = = U(ix + ii).

Cette fonction composée peut cesser d’être olotrope seulement pour les valeurs de æ annulant, soit l'expression placée sous le signe /, soit le radical (187), (125). Les valeurs du premier genre n'existent pas, à cause de l’identité évidente

(59) (re vi—z)(ir Vie a) = 7.

Les seules phases critiques de arc sinæ correspondent donc à