T = EN

Ce sont méme des phases singulières; effectivement quand x est très voisine de +1, on peut développer le logarithme de la formule (22) en la somme de /(1æ), fonction olotrope, et d'une série

, . . CE * ° y 1— +?

procédant suivant les puissances entières de la quantité ee

alors très petite (171) ; or la somme des termes de la série où cette quantité est affectée d’exposants impairs ne peut évidemment être olotrope en += +1. La méthode des n° 141 et suiv., appliquée à la résolution de l'équation (21) à parur de = Æ1, donnerait des développements rhizomorphes (153).

L'équation différentielle (24) du n° 242, inf., rend d’ailleurs ces

divers points évidents, en montrant immédiatement que ne n’a

d’autres phases singulières que x = 1 (165*), (125).

240. En appelant w quelque valeur de arc sin, toutes celles qui correspondent à la même valeur de x et à la même détermination du radical sont de la forme

2TL U + mt mar.

Celles qui correspondent à la détermination opposée du radical sont de la forme

rT—u+m.2T,

car l'identité (23) donne I(ix + Vi zx)+ l(ix — Vi—æ)=1/(—71)= i(x + m.2m). Ceci s'accorde avec ce qui a été dit au n° 2392.

241. Les incidents du calcul de arc sinæ par cheminement sont intéressants à étudier. Tous les chemins à considérer se composeront ici d’un chemin simple précédé de quelque combinaison des deux boucles (+ 1), (— 1), enveloppant +1 et — 1, seules valeurs de x qui soient singulières pour cette fonction.

Nous prendrons æ, —0, la valeur initiale du radical = + 5, celle du logarithme — 0. Nous tracerons le chemin simple [oX| arbitrairement, sauf la condition de ne contenir ni +1, ni —1, et nous appellerons U la valeur finale de arcsinæ à son extrémité X.