CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

Nous composerons la boucle (+ 1) : 1° du segment [o(i — e)] de l’axe des quantités réelles, allant de l’origine au point 1 —e, où € est une quantité positive très petite; 2° d’un anneau également très petit | + |, commençant en 1—e et y finissant après avoir enveloppé une seule fois le point +1; 3° du même segment [o(i — e)] parcouru en sens inverse. Pour la boucle (— 1}, nous prendrons la symétrique par rapport à l’origine O,, de celle qui vient d’être tracée.

Posons IL + Vip = 6" 5",

et plaçons d’abord la boucle (+ 1) avant le chemin simple. Pendant que x marche de o à 1 —e sur le segment [o(i Le e)|. on a

parce que æ et Le radical restent réels ; d'autre part, +’ décroît sans cesse de + 1 à + ÿ/e(2 — e), v” croît de o à 1 — e, et l’on a constamment 6? + 2 — 1. Il en résulte que le point + se meut dans le sens de rotation direct sur la circonférénce [O,] ayant O, pour

centre et 1 pour rayon, en passant de 6 = 1 à

= + ye(a—E) Hifi),

“point très voisin de p — &.

Sur l’anneau [ + 1 |, x reste très voisine de 1, le radical de o, et de z; après son parcours, le radical écrit &(æ — 1e + Dirén en 1—e avec la valeur finale — 4/e(2 —e), produit de sa valeur initiale + Ve(2 — €) par — 1 racine carrée principale de 1 (166).

Quand x revient en x —0, marchant à rebours sur le segment rectiligne [o(r —e)], »’ décroît ainsi de — W/e(1 —e)à —1,et v” de 1—e à o; il s'ensuit que e marche sur la circonférence KOPIA

et toujours dans le sens direct, de 6 — —4/2(2 — e)-+ i(1 —e) AP —= — 1,

Le parcours de la boucle (+ 1) ayant ainsi pour effet de transporter de 6— +71 à 6 ——1, par un demi-tour direct autour

de O,, fait varier {(v) de o à re (186 bis).

Poursuivons notre marche sur le chemin simple [oX |]. Si pour

un instant on représenle par cie V1 __ x? les valeurs atteintes en x par les déterminations du radical qui partent de x —0o avec les valeurs initiales + 1 respectivement, l'identité (23) qui donne

Lie — Vrai) + Wir + Vi—)= K—1=re

en attribuant en x — o aux deux logarithmes les valeurs initiales riet o, montre qu'en X la valeur finale du premier est égale à l'excès de xé sur celle du second. Mais il résulte de tout ce qui précède, que la première est celle de arc sinæ après le parcours de la boucle (+ 1) suivie du chemin simple, que la seconde est celle de la même fonction calculée sur le chemin simple seulement, c’est-à-dire &U. Le chemin simple précédé de la boucle (+1) conduit donc aresinæ à la valeur finale x — U.

En raisonnant de la même manière, on trouve que l'emploi del’autre boucle (— 1) substituée à la première donne la valeur finale — 7 — UÜ.

Si l’on place avant le chenun simple la même boucle parcourue deux fois, on retrouve Ü pour valeur finale. Car la seconde donne + + — U, et la première placée avant celle-ci

Si l’on place d’abord la boucle (+1) et ensuite la boucle(—1),on obtient la valeur finale 27 + U. Car la seconde seule donne — rx — U,etensuitex —(—Tr—U)=—=2r+# U quand on la fait précéder de la première. Sz l’on parcourait d’abord la boucle (— 1), puis la boucle (+1), puis le chemin simple, on arriverait à — 27 + U.

Chacun trouvera maintenant sans difficulté la modification apportée à la valeur finale de arc sinx, par l’adjonction au chemin simple, d’une suite quelconque des deux boucles arbitrairement répétées.

949. On obtiendra naturellement la dérivée de u = arc sinæ, en particularisant par les attributions numériques (1), (2), la fonction placée sous le signe f dans l'intégrale (24) du n° 228, et en y précisant convenablement Île radical, après y avoir remplacé w par x. On peut aussi différentier l'équation (21), ce qui donne,