Le seul développement usité de arcsinxæ est celui de

Maclaurin, auquel l'équation différentielle (24) conduit immédia- ) | (

tement.

En considérant, par exemple, la détermination de arcsinæ qui

: : SN s’annule en x — 0, le radical de cette équation doit être pris avec la valeur initiale + 1 à cause de coso — 1, et son développement par la formule du binome (118) donne

du Ai I É 9-8 ES TOM OT LEE À D G—) D NP At 4 .4 2.4.0...

En intégrant el ayant égard à la condition initiale, il vient donc

ù UT 7 1.3.5...(27n—1) x?2+1 (26) u=arcsinr=-+-—+,,,.- ; I 2:59 DA 211 2n+I

S1 l’on choisissait la détermination de arc sinx égale à x pour æ — 0, il faudrait, à cause de cost = —1, attribuer au radical la valeur initiale — 1, ce qui changerait tous les signes du développement (25). On obuendraït ainsi celui de cette détermination, en retranchant de x la série (26).

Le rayon de convergence maximum de cette série est naturellement 1, plus courte distance de zéro, valeur initiale de x, à +1 et —1, seules valeurs de cette variable qui soient singulières pour arcsinæ (201*). On remarquera que cette série converge encore, et méme celle des modules de ses termes, pourmodzx— 1.

Effectivement cette série de modules est 1.2 00 T) I

(an —1}? 1 \2 ‘a D — =|i1— — I+ — ’ 2n(27 +1) 2n 2n

pour laquelle

rapport du (nr + 1}mé terme au nième, se développe en une série

spa NV entière par rapport a “b.