CHAPITRE VII. — DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

partagent évidemment en segments égaux à modIl la droite menée par a parallèlement à IT, et les droites menées par ces points parallèlement à 6 découpent le plan en bandes égales. Il résulte des observations précédentes que les valeurs prises dans une seule de ces bandes par f(x) et par ses dérivées (ou autres coefficients de ses développements) se répètent indéfiniment dans chacune des autres aux points respectivement congrus. L'étude de cette fonction périodique peut être limitée à l’intérieur de l’une quelconque de ces bandes; pour fixer les idées on prend —=o, la quantité arbitraire a, et l’on choisit la première bande, celle dont les bords passent par o et II.

Ces bandes restent les mêmes quand on muluiplie @ par une quantité réelle ; mais elles changent si l’on vient à remplacer cette quantité par une autre de direction différente.

Quand x est infinie sans rester à l’intérieur de bandes données en nombre limité, f(x) est essentiellement indéterminée. Une pareille fonction ne peut donc être méromorphe à l’infini(5l), car alors des valeurs infiniment petites quelconques de x’ feraient

tendre la fonction f(5) vers quelque limite, ou au moins la ren-

draient infinie, au lieu de la rendre indéterminée.

259. Donnons ici une définition qui ne serait pas mieux placée ailleurs. Une phase singulière dans laquelle une fonction donnée d'une seule variable, F(x), entre en x — 4, est dite essentielle, quand cette fonction, n’étant pas méromorphe en f, est néanmoins olotrope, ou au moins méromorphe, dans tout fragment d’une aire donnée contenant 4, auquel ce même point est extérieur.

Quand F() entre dans une phase singulière essentielle en æ'—0, on dit que F(x) est douée d’une singularité essentielle à l’infint. C'est ce qui arrive, par exemple, quand F(x) étant indéfiniment méromorphe (ou olotrope) sans dégénérer en une constante, l’une ou l’autre des équations

EAN

possède une infinité de racines distinctes ; car alors celles de ces racines qui sont extérieures à une aire limitée quelconque Sz, étant

toujours en nombre illimité aussi, puisque l'aire en question ne peut en contenir qu'un nombre limité (31), F(2) EC AS F(2) ) possèdent en nombre illimité dans une aire limitée quelconque Sr, contenant l’origine x!— 0, des zéros dans le premier cas, des infinis dans le second. Comme le contraire aurait lieu si ces fonc-

tions étaient méromorphes dans S, elles ne peuvent l'être, et cependant elles jouissent visiblement de cette propriété dans

ë . N RE . ei toute aire à laquelle le point x! —0 est extérieur; la fonction (=)

entre donc dans une phase singulière essentielle en z/= 0, puisqu’elle ne peut évidemment être méromorphe en ce point.

D’après cette définition et les observations faites dans le numéro précédent, la fonction périodique f(x) possède nécessairement une singularité essentielle à linfinr.

Nous devons nous borner à ces indications, la considération des phases singulières essentielles étant inutile aux théories dont nous avons à nous occuper.

260. Quel que soit l’entier u, f(x) supposée douée de la période Il, admet évidemment aussi la période Il, = HI, que l’on dit composée de IT; mais, sauf le cas de u = +1, cette nouvelle période n’est pas équivalente à I, parce que les valeurs de l’expression mII, ne comprennent pas toutes celles de mII.

Une période de f(x) est élémentaire, si elle n’est composée d'aucune autre ayant un module inférieur au sien. Une pareille période est évidemment celle de moindre module parmi toutes celles qui en sont composées.

Cette fonction admet nécessairement quelque période élé-

mentaire. Car, si u, uw, u",... désignant une suite illimitée d’en-

tiers tous >>1 en valeur absolue, f(x) admettait pour période

DU IT (ë—1) j chacune des quantités IT, — — Il, —; — 1”, ..., M RER He be pet 1)

le module de II décroîtrait sans cesse et indéfiniment pour £ infini, et, en supposant f(x) olotrope en x,, l'équation f(x) — f(x) =0, qui est satisfaite quel que soit £ par x = +5 + II, posséderait une infinité de racines dans une aire limitée quelconque contenant le point æ,; f(x) se réduirait donc à une constante (4), ce qui est contraire à l'hypothèse.