CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCOULAIRES

Si IT est une période élémentaire, I x (— 1) — — II en est une aussi, et la seule autre qui puisse évidemment exister.

En prenant une période élémentaire de f(x) pour base du tracé expliqué au n° 298, on obtient, pour une même direction de la

constante auxiliaire 6, des bandes de largeur commune minima,

qu'il convient, à cause de cela, de considérer préférablement à toutes autres. Ce sont les bandes élémentaires de f(x); il est évident qu'au point de vue graphique leur ensemble coïncide avec celui que fournit l’autre période élémentaire.

261. Sc, outre la période élémentaire I, f(x) admet encore une autre période Q, de deux choses l’une : ou bien Q est composée de II, ou bien le moment (257)

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des deux périodes n’est pas nul.

S1 ce déterminant est nul, on a Q'— KI: Q" — XI”,

d’où Q = XII, Æ désignant quelque quantité réelle non nulle. En appelant donc m un entier quelconque, n et ñn +1 deux entiers consécutifs donnant ñ < mk <[n +1, parsuitemk—n+n,oùn est une quantité réelle positive et T1, on aura

mQ = mA = nl + ru.

Attribuons maintenant à » une infinité de valeurs distinctes m,, Mo, ...,1l est impossible que n1, n°, ... valeurs correspondantes de n, soient toutes inégales. Car, en supposant f(x) olotrope en xs, et à cause de

(Lo + 1) = f(r0 + nI + An) = f(ro+ MmQ) = f(Xo),

lPéquation f(x) —f(xo) —0 aurait pour racines les quantités To + ll, qui sont toutes inégales et en nombre illimité. Comme toutes ces quantités tombent à l’intérieur du cercle qui a æ, pour centre et modif pour rayon, f(x) dégénérerait en une constante (4), ce qui est contraire à l'hypothèse.

En appelant donc à, j deux indices convenables, on a

mQ—nuU=m;Q—n;l; c’est-à-dire (m; — m;)Q = (nn)

et,commem;— m;,n;— njne peut être nul, puisque Q ne l’est pas.

Si x, y sont les quotients des divisions de ces différences par leur plus grand commun diviseur, cette relation s'écrit

et donne (4) IT = "ur; Q=vx

y désignant la valeur commune des derniers rapports. Soit enfin p, q un couple de solutions entières de l'équation

EDEPAENTENS

qui est possible puisque p, y sont prémiers entre eux. Les égalités (4) donnent

v = pl 99;

moyennant quoi v est aussi une période de f(x), et Il en est composée à cause de la première. Mais, IT étant élémentaire, 1l faut que b— +1, d’où v — XII, et la dernière des mêmes relations donne Q — — yII, ce qu'il fallait établir.

262. Nous appellerons unipériodiques les fonctions de cette espèce, c'est-à-dire celles dont toutes les périodes sont composées d’une seule période élémentaire.

Pour ce qui les concerne, il y a quelque chose à ajouter aux observations faites précédemment sur toutes les fonctions pério-

diques.

1. Si les fonctions f(x), f(x), ... dun° 254 sont toutes unipériodiques, elles ont nécessairement les mêmes périodes élémentaires.

Soient effectivement Il une période élémentaire de f(x), par suite (élémentaire ou non) de f'(x), et w une période élémentaire