CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

de cette dérivée. L'intégration de J'(x+s)= f(x)

donne, en appelant C quelque constante,

(5) J(&+5)=f(x)+ 0, d’où (6) f(&+mow)=f(x)+ mc.

Comme II, période quelconque de f'(x) supposée unipériodique, est nécessairement composée de sa période élémentaire ©,

on a

(7) Tete

le multiplicateur 1 étant un entier -£o. Cela posé, l’hypothèse m — y, faite dans l’identité (6), donne

PE #6 D) ETCRMENTE,

d'où uC — 0, à cause de f(x +11) = f(x), puis C—o à cause deu 0.

L'identité (5) montre ainsi que w est aussi une période de f(x ); elle est donc élémentaire puisque cette fonction est supposée unipériodique et qu’en vertu de légalité (7) sa période élémentaire Il en est composée.

Même raisonnement pour la comparaison des périodes de f(x)

D) AlCr)etjJ'(x), .

IT. Si au n° 255 la période IT est élémentaire pour les foncuons f,(x), f2(x), ..., elle appartient bien, comme toute autre, aux fonclions qui en sont ralionnellement composées; mais cela peut être parfaitement à titre non élémentaire.

HI. Pour les fonctions f(x), F(x) du n° 256, il est évident que

PRES Il A Al RP 2 les périodes IT, — Sont en même temps élémentaires ou non.

263. De ce que nous avons vu, dans les deux Chapitres précédents, il résulte évidemment que les fonctions e*, tangx et cotx,

sinx et cosæ sont unipériodiques avec E 2Ti, 7, & pour 2 périodes de moindres modules, partant élémentaires.

Les relations entre leurs périodes sont conformes aux observations ci-dessus; par exemple e* ayant la période Æ 2x4, les fonctions e2#, ex, par suite lang et cotæ, sinæ et Cosæ, qui sont rationnellement composées de ces dernières respectivement, ont au même titre élémentaire les périodes € +, + 27; cosx, dérivée de sinx, a la même période élémentaire 2 27, ....

On peut tracer les bords des bandes élémentaires : pour e?, par les points ..., —2®mi, O0, 27, .. , parallèlement à laxe des quantités réelles; pour tangx et SE par les points ..., —7, 0,T, +-., parallèlément à l'axe des seconds éléments; pour cos et sinæ, par les points ..., — 27%, O0, 2T, ..., dans la même direction.

Plus généralement, toute fonction rationnellement composée de l’exponentielle ex est évidemment unipériodique avec la

’ . 2TL » , 11 5 période ——; qui n’est pas forcément élémentaire. Nous verrons

bientôt (268, énf.) qu'inversement les fonctions unipériodiques formant la classe la plus simple sont toutes exprimables de cette manière.

964. En attribuant à £ dans l'expression (3) des valeurs infinies, soit positives, soit négatives, la valeur correspondante de x Ha à l'infini à l’intérieur de la bande ayant pour bords les parallèles à 8 menées par a, a + Il, soit dans la direction même de ®, soit dans la direction opposée; de plus, le second élément

Fh : : 4 ë : À . (o] du rapport A est infini avec un signe final identique à celui de # ne

constant par suite. Pour abréger, nous caractérisons une pareille variation de æ (ou de toute valeur congrue) en disant que cette variable est infinie dans une direction polaire, et nous nommerons cette direction boréale ou australe selon que le signe final

LA Là T du second élément de Se oi en Quand x est infinie dans une direction polaire relativement à quelque système de bandes, elle jouit évidemment de la même : propriété relativement à tout autre système.

Pour deux systèmes à bords tous parallèles, construits sur les