CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES

À étant positive, ete infiniment petite en même temps que X; d’où, en appelant a, < a, < a; des valeurs réelles de x suffisamment voisines de &,, et prenant successivement À — a; — a;eth— a —a;,

(a TN 0, J(m)—f(a;)>o.

(4 2 $ T | ! e Comme f(x) ne s’évanouit plus entre X’et a, on a par ce qui précède

f(ai)—f(X) > 0,

et l’addition membre à membre de ces trois inégalités donne J(ai)—/f(4)> 0.

En nommant a’, a,, ..., a; certaines quantités réelles respectivement supérieures à G», A3, --., 4p, On trouvera de même

J(a;)—f(ai)7e, f(a;)—f(a2)> 0,

ee. ee

SX) — far) > 0,

d’où l'inégalité (3) par une nouvelle addition membre à membre

de ces dernières.

Quand f(x) est décroissante dans l’intervalle considéré, on

trouve au contraire

FX) < SX),

en raisonnant exactement de la même manière.

29. Si les quantités f(X'), f(X") sont de signes contraires, l'équation J(æ)= 0

offre au moins une racine dans l’intervalle X’, X”.

En appelant À un accroissement infiniment petit, la différence f(&æ+h)— f(x) est infiniment petite aussi, de quelque manière que æ varie simultanément dans l'intervalle considéré (200* brs).

Si donc on nomme w, quelque variante positive infiniment

petite, si l’on partage l'intervalle considéré en un nombre limité de fragments inférieurs à w,, et si l’on nomme x,, x, deux points de division consécutifs en lesquels f(x) ne prend pas un même signe, points qui existent, car autrement les quantités f(X"), -.., f{æ!), f(æn), + - +, FX") auraient toutes un même signe contrairement à l'hypothèse, f(x,) et f(æ,) téndent toutes deux vers zéro. Car, ces deux quantités n'étant pas de même signe, la valeur absolue de chacune d'elles ne peut surpasser celle de leur différence f(x!) — f(x,) qui est infiniment petite, comme nous venons de le rappeler, puisque x, — x, tend vers zéro.

Aucune limite inférieure n’est donc assignable à mod/f(x) dans l'intervalle considéré, d’où résulte ce que nous voulons prouver (185*).

Le théorème du n° 11, élargi au besoin comme nous l’avons indiqué à la fin du suivant, permettrait encore de prouver l’existence de pareilles racines et aussi bien de les calculer par cheminement.

23.491 l'on a [(X!) = f(X)==ON EqQUERERS (5) J'(x)=0 offre au moins une racine dans l’intervalle considéré.

En a, zéro quelconque de degré de multiplicité m de f(x) qui tomberait dans l'intervalle considéré, on a (1), si l’on appelle o(x) quelque fonction olotrope non nulle en x = à,

d’où f'(x)=(x—a)r1[me(x)+(x—a)?(æ)], puis LÉ Re AO p(æ) Ai) pet) mo(æ)+(x— a)? (x)

Le multiplicateur de x — a est olotrope en a, parce que son dénominateur y prend la valeur mY(a) essentiellement diflérente de zéro (250*, IL); de plus il y acquiert la valeur essentiellement

"7e I ositive —:

P nm

En appelant donc À une quantité infiniment petite positive, les

+2 Co