CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

à partir du moment où 72 est assez grand pour maintenir mode,

modE au-dessous de €, de:

Or, à cause de A— 292 © 1, la quantité positive qui forme le second membre de cette inégalité est le terme général d’une série convergente (1) (114*, I).

Pour A — À < 2, il y a évidemment divergence.

274. Si, dans un tronçon de progression arithmétique de raison constante h( 0)

Gbiu, w(=uth), ., wl=w+(g—1)4],

le terme de moindre module est une variante infinie, la somme des modules des puissances d’exposant entier 1 => 1 des inverses arithmétiques des termes de ce tronçon tend vers zéro, de quelque manière que leur nombre g varie simultanément.

Comme, à partir du moment où le moindre module des termes du tronçon reste >>1, la somme considérée diminue toujours qu and & augmente, il suffit de faire la démonstration pour ti — 2. En supposant d’abord que w, soit le terme de moindre module,

en posant w—=u,+iu,, h=h+ih", on aura généralement

mod(u+mh)? =uf+uS+o(hu,+h'ui)m+(h?+h?2)m?; 1 1 i 1

et, comme pour m —1,Ccelte quantité estau moins égale à u”+u},

il faut qu’on ait algébriquement CRU RUE )EACRPEENEE), : d’où immédiatement fm od(u+mh)? >(k?2+ R"2)[U +(m—1}], en représentant par U la quantité positive, infinie aussi, (uP+uS):(hk2+Rh"2).

Au diviseur constant près, la somme de modules considérée est donc inférieure au résultat obtenu en ajoutant à la quantité infini-

ment petite v la somme de la série convergente (273)

I I I 1 +- + HR = + Ü UÙ + 1? Ù —+ 2? Ù + m°

Or, cette somme est infiniment petite aussi; car le plus grand enter positif M dont le carré soit U est infin: comme U, et, d’une part, la somme de ses M premiers termes, inférieure à M fois le pre-

; I UE mier, l’est à M NE = N° plus forte raison ; d'autre part, la somme

des autres termes est moindre que

reste d’une série convergente (273, I).

Si le premier terme w, n'est pas celui de moindre module dans le tronçon (3), on prouvera comme dessus que la somme considérée est infiniment petite pour les termes qui suivent ce dermier et pour ceux qui le précèdent, ce qui entraîne immédiatement ce que nous avions à démontrer.

275. Si le rapport de n — modh au module de l’un quelconque des termes du tronçon (3) est inférieur à la quantité positive 0 1, et si l’on représente par

i( : ) ie An

l’accroissement éprouvé par l(t) quand t chemine de t = u,

à t— ug41 en passant successivement par les valeurs (3) (toutes

en ligne droite), on a

: 1 I I [ UE (5) M, SN U: Ua Ur h

avec l’inégalité

(6) mod 8-9 << NS» —;

s, désignant la somme des carrés inverses des modules des termes du tronçon (3).