CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES. quantités
fla+h) fla—k) f'(a + h)’ J'(a—h)
finissent par conserver la première le signe +, la seconde le signe —.
De là et de l'hypothèse f(X') = f(X") — 0, il résulte que les
valeurs f(X'+e) n (X"—E")
HAEXS en FRS CESES
du rapport considéré sont de signes contraires, si les quantités e’, e” ont été prises toutes deux positives et assez petites.
Cela posé, si l'équation f(x) = 0 n'a aucune racine à l’intérieur de l'intervalle considéré, les numérateurs f(X'+ e/), f(X"— e") sont tous deux différents de o et ne peuvent être de signes contraires (22); les dénominateurs f/(X'+e!), f'(X"— &") le sont donc forcément, et l’équation (5) a au moins une racine dans l’intervalle partiel X’+ e’, X”— <”, par suite dans l'intervalle total considéré.
Si au contraire elle en possède, ces racines sont en nombre limité (4); en les appelant donc &,, &, ..., ag, le raisonnement ci-dessus prouve que l’équation (5) en a au moins une dans chacun des "9 + 1 intervalles partiels [ X’, a; |, [as, a2[, ..., [ag, X"].
24. Les mêmes choses étant admises que ci-dessus, toute détermination de l’intégrale indéfinie f f(x) dx dont la valeur initiale u, est réelle, est réelle aussi dans tout l’inter-
vale X}, X7|.
Le premier développement de la détermination dontil s’agit est
effectivement (215*) (TT —%)?
Uo + f(Xo)(æ — x) + f'(Xo) FEAT covers
où tout est réel, savoir w, par hypothèse, f(x), f'(Zo), f'(Lo); + + + parce que f(x) est supposée réelle dans l'intervalle considéré (17), et æ — x, parce qu'il ne s’agit que de valeurs réelles de la variable. Les développements subséquents, à exécuter pour cheminer dans l'intervalle considéré, ne conduiront jamais aussi qu’à des quan-
tités réelles, parce que, pour chacun d’eux, la valeur initiale de l'intégrale est la valeur finale fournie par le précédent.
25. St le chemin d'intégration coincide avec un segment [ X'X"] de l’axe des quantités réelles, l'intégrale définie
(6) IMMO
est nécessairement réelle. Car, en appelant F(x) une détermination réelle de l’intégrale indéfinie, sa valeur initiale F(x,) et sa valeur finale F(X) atteinte au bout du chemin d'intégration sont deux quantités réelles (24) dont la différence F(X) — F(x) est par définition la valeur de l’intégrale définie considérée (228*).
26. Deux chemins tracés de x, à X sur l'axe des quanutés réelles peuvent évidemment être amenés à coïncidence (en côtés et en sommets) par simple déformation exécutée sur cet axe, c'est-à-dire dans un espace où f(x) est lacitement supposée /olotrope. {ls donnent donc la même valeur à l’intégrale définie (229*, IT).
Le plus souvent on suppose donc un chemin d'intégration réel parcouru par une marche de sens constant, et, en changeant au besoin le signe de l’intégrale définie (229*, IV), on prend pour limite inférieure la plus petite (algébriquement) des quan- Utés 9, X. C’est ce que nous ferons en particulier ci-dessous.
27. Sientre x, et X (=> x,), f(x) conserve un signe constant, ce méme signe appartient aussi à l’intégrale (6).
S1 par exemple ce signe constant est +, F(x) est une fonction croissante dans l'intervalle (æo X) à cause de Ft) = ee
On a donc F(X)—F(x)>0o (21).
28. St donc entre xs et X on a constamment fa (AE ou << f(x), on aura aussi selon le cas
x X Î fita)dr> ou Sas J2(x) dx;
e To
CHAPITRE 1. — FONCTIONS OLOTROPES. 20 car la différence de ces intégrales,
Lfi(æ) — f(x) de,
To
est positive dans le premier cas, négative dans le second.
28 bis. La proposition du n° 24 est un cas particulier très restreint de cellé-ci1 :
Pour des valeurs réelles des variables, les intégrales d’un système immédiat d'équations différentielles totales ou partielles le demeurent elles-mêmes, aussi longtemps que les seconds membres de ces équations conservent des valeurs réelles pour des valeurs réelles de toutes les quantités qu'ils renferment, à condition toutefois que les valeurs initiales des variables aient été prises réelles ainsi que les valeurs ou déterminations initiales imposées aux intégrales considérées.
Il est évident, en effet, que, dans chaque nouveau développement des intégrales, les coefficients des séries sont réels, ainsi que les accroissements des variables par rapport auxquels elles sont ordonnées.
