CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

tous les termes est visiblement inférieure à

" STE PRÈS A TER Am +0 [roi Hi) (M+nM a) ; æ'+r ee 5

ce que donne immédiatement la sommation de cette dernière série,

, é , , I procurée par la transformation du terme général —— en n(n +1)

: ; . : : M : à L'expression (14) étant infiniment petite, parce que =; est infini,

la quantité (13) tend vers o, ce qui entraîne la relation (12), puis, par sa combinaison avec celle qui la précède,

(1) liméi(r, Dex, RL AR PRET AL 2° Quand x” est infini négatif, on trouve (16) Jin £ (x D)

soit par le même procédé, soit en combinant l'égalité (15) avec l'identité (18) ci-dessous.

5° En représentant par Ei(x, Il), E(x, 5) notre fonction t;(x),

et ce qu’elle devient par la substitution de w à I, on à l'identité évidente

: 4 w \; a) A Î HE UE A (== ; (17) TOUTE ER) On a en particulier 17; 1) (D di moyennant quoi les formules (15), (16) donnent bien, quand le

second élément de . est infini positif ou négatif,

1 Ti limË, (x, Ha == T1

V. Pour i>1, la fonction É;(x) est toujours polarisée, mais avec des valeurs polaires toutes deux — 0.

292 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE: En faisant d'abord H—1, 0<x<1,et æ infini, on trouvera immédiatement pour tm—mZ>0,

mod(z'+ix"—m} > mod[(wu—1)+ix"P> 4"? + (un — 12.

La somme des modules des termes du développement de

E;(æ, 1) est donc inférieure à l'expression

3 | f l LT é a"? +12 PACPROT Lun

dont le premier terme est infiniment petit et le second aussi, pour la raison indiquée au n° 274 à propos de la série (4). En d’autres termes, les valeurs polaires de E;(æ, 1) sont toutes deux nulles, conclusion que l'identité (17) étend à toutes les valeurs de II.