CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

et homogène de quelques fonctions (19) E(æ— a), E(z—86), 4% -E(æ—X)

d'indices quelconques est une fonction unipériodique de x, admettant la période |, ayant des valeurs polaires finies, et dont l’ordre relativement à W est la somme des indices maxtimums qui affectent ces diverses fonctions dans les termes effectifs de la fonction composée.

La période IT appartenant à chacune des fonctions simples (19) (278, LIL) appartient aussi à la fonction composée (255); elle est unique à cause de la disposition des infinis de cette dernière qui sont les quantités

a+ mil, 8+mill, ..., À + mll.

Les valeurs polaires de la fonction composée sont évidemment

ë TL

H,=(A;+ B, +." CEE L:) NET en appelant H, le terme constant de la composante et A,,B,,..., L, les coefficients des fonctions simples d'indices — 1 (278, IV, V). Enfin, puisque les valeurs polaires de la fonction composée sont toutes deux finies, son ordre est la somme des degrés de multiplicité de ses infinis incongrus &, 8, ..., À, c’est-à-dire celle des indices

maximums des fonctions simples (266).

280. Réciproquement, st f(x) est indéfiniment méromorphe, unipériodique avec la période Il, et polarisée avec des valeurs polaires finies toutes deux, elle s'exprime linéairement au moyen de fonctions analogues à (19).

Soient ...;a;; ... les infinis distincts de f(x) tombant dans une même bande, lesquels sont en nombre limité, puisque f(x) est supposée polarisée avec des valeurs polaires non infinies (263), DNA RAS NAS" à .. les \numéras teurs des fractions simples en ...;(æ—a;) !, (x —a;)?, ..., (ani. .., ...; ..., fournies par la décomposition de f{x) dans la bande considérée, en ces fractions accompagnées d’une parte olotrope (39). Comme en étendant la sommation à toutes

les valeurs des indices £, j qui sont à considérer pour f(æ), la différence

f(æ)—2Ai,;hi(x —4;) est indéfiniment méromorphe et dépourvue de tout infini proprement dit; comme, d’autre part, elle ne peut devenir infinie pour aucune valeur infinie de x, puisque ses valeurs polaires sont finies à cause, soit de la nature des fonctions £ (278, IV, V), soit de

l'hypothèse faite sur f(x), elle se réduit à quelque constante À. On en conclut bien (49)

f(x) = AS ZA; Etap):

981. Quand les valeurs polaires de f(x) ne sont pas toutes deux finies, l'exécution préalable de la décomposition expliquée au n° 269, III permet de la décomposer toujours en exponentielles accompagnées de la somme XA,j E; (x —u;) ci-dessus. Yest, pour les fonctions unipériodiques polarisées, la réponse à la question que nous nous étions posée au commencement de ce paragraphe.

989. Voici les applications les plus intéressantes de cette formule de décomposition.

I. La fonction cotx, de période =, a dans sa première bande le seul infini æ — 0 qui est simple avec le résidu 1, et ses valeurs

polaires sont & (220), (263), (264). On a donc (20) cotx — (7,7); la constante est nulle, parce que les valeurs polaires de Ei(æ, T) sont aussi Æ e creëf À IT. On trouve encore tangæ — — 1 (a 1 ),

soit par la même méthode, soit en combinant la formule précédente avec les relations (22) du n° 220 et (18).

III. La fonction ES a la période r (232, ën fine) avec le seul