CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

infini double x — 0 dans sa première bande. Pour des modules de x suffisamment petits, on a d’ailleurs (231)

I I sin?Z MATE 2 æ?| 1 — +...

La décomposition de cette fonction dans la première bande donne

1 L M Sr.) Std te es

. . I O donc les seules fractions simples mt A l’on a

nl /fe (21) “Te tte, #0),

parce que les deux membres ont 0,0 pour valeurs polaires (238), (278, V).

IV. La fonction — a Ja période 27 avec les infinis simples 0,7

dans sa première bande où elle est infiniment petite à l'infini. Ses résidus sontienæ—oet—1enx=— 7, à cause des relations (0)

du n° 231 et (15), (16) du n° 232. On a donc

os —= Ét(T; 2H) Eat —T, 2T ),

parce que les deux membres ont encore 0,0 pour valeurs polaires.

Etc.

983. La sommation, pour toutes valeurs de IT, #, de la série S(x— ml) — E;(x, Il), résulte immédiatement des considérations précédentes.

L'identité (17) donne d’abord E(æ, U)= - à ( æ, 5) = FE cot æ (289, I).

Il vient ensuite (278, I)

LME Aer UT D LAN COUT ©

expression qui se met facilement sous forme d’un polynome entier

en cot= æ (217, Il, êr fine).

284. Indiquons, en terminant, une manière toute différente d'exécuter la sommation exprimée par la formule (20), d’où se déduisent toutes les subséquentes.

I. La fonction [é(x)l peut étre mise sous forme d’une expression linéaire en

(22) &i(x), 62(x), ..., 6x), où le coefficient de E;(x) est non = 0.

C’est une conséquence immédiate du théorème du n° 280, car cette fonction n’a dans sa première bande que l'infini + = 0 qui est de degré effectif &.

On peut donc résoudre successivement dans leur ordre naturel, cela par rapport aux £ fonctions (22), les £ équations linéaires existant ainsi entre elles, d’une part, et

E1(æ), [éi(z)l?, [é1(æ)f, “….) Léi(æ)li,

d'autre part, c’est-à-dire mettre inversement £;(x) sous forme d’un polynome entier en &,(x).

Il. D’après cela, on trouvera (278, I)

ae = — EAUX, Tr) A+ Ait, T) + A2[ti(æ, r)f,

d’où, pour æ infinie dans les deux directions polaires successive-

ment, O— A5— Aji— A», 0 = A+ Ajt— A», (278, IV)

el, par suite, A=o, Ao— A2 = 0,

d'e(rs T)

de —Aoli+{h(e, r)fl=—&(x,m)

Comme d’ailleurs pour x infiniment petite on a, d’après la nature de la série Z(x — mIl) i,

limz?[t:(,r)] = lima?ëé(x, rm) =",