CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT. DES FONCTIONS CIRCULAIRES

il reste définitivement A, — — :,et

déi(æ, T) 4 dx {+

ne bEe T)l2.

Les fonctions Ë, (æ, t) et cotæ sont donc identiquement égales (382*), puisqu'elles satisfont à une même équation différentielle

immédiate (220, I), et que pour x — ; elles prennent la même

valeur numérique o (278, VII), (220, IT).

HI. Un autre procédé bien plus expéditif aurait consisté à établir tout d’abord la formule (21), ce qui se fait à très peu de frais parce que les valeurs polaires de &, (x) s’aperçoivent presque immédiatement, à descendre ensuite par différentiation aux expressions de &;(x), &:(æ), ..., à remonter enfin à celle de £,(x) en s’appuyant sur l’intégration à vue exprimée par la formule évidente

dx : se Fe ee:

IE — — cotx + C. Nous aurions ainsi abrégé considérable-

ment toute cette théorie, car nous aurions évité la recherche, fort longue en somme, des valeurs polaires de Ë, (æ). Mais, outre que les préliminaires de cette recherche nous seront d’une grande utilité dans la théorie des fonctions elliptiques (340 et suiv., inf), nous avons préféré, ici comme partout ailleurs, les méthodes directes aux tours de main; les unes sont fécondes et mettent à nu le fond des choses, les autres le dissimulent toujours et sont stériles autant que leurs apparences sont séduisantes.

Développement des fonctions circulaires en séries factorielles (1).

289. L’analogie invoquée au commencement du paragraphe précédent entre les fonctions rationnelles et les fonctions indéfiniment méromorphes, conduit encore à essayer sur ces dernières un autre développement, imité de la décomposition des termes d’une fraction rationnelle en puissances de facteurs linéaires s’évanouissant, les uns aux zéros, les autres aux infinis de la fonction (50).

(*) Quoique les propriétés spéciales des séries factorielles ne soient pas indispensables ici, j'engagerai le lecteur à jeter un coup d'œil sur les n°° 369 et suiv. (znf.), avant de lire ce paragraphe.

Pour les fonctions unipériodiques, cette recherche nous sera sin oulièrement facilitée par les résultats de la précédente.

Si la constante I n’est pas nulle, le produit variable

nr) (ee (=) (5)

tend, pour k infini, vers une fonction de x qui est indéfiniment olotrope.

En intégrant de o à x sur un chemin quelconque ne contenant, sauf o, aucun des points Il, et en choisissant convenablement les logarithmes, on a évidemment

0 I e P;:(x) RO A Re Le de (5 à) 2IE Li) 4 Pr:

la sommation Y; s'étendant aux valeurs — X, —(X—1),..., —1,

1,0, ...,k de m. Il en résulte (277), (278) (2) im PC 2 [Lace 2] dr = X(x),

en désignant cette intégrale par X(x) pour abréger, puis (3) lim Pz Creer

L’exposant X(x) n'a, comme E,(æ) — d’autres phases singu-

lières que æ—mIl (mnon—o); mais dans le voisinage de pareilles valeurs on a

(x) étant olotrope. On a donc aussi

, MP, (x) — RSA AC (4) lim P4(æ) = # (1 I ex),

fonction olotrope en x = ml.

Si, au lieu des facteurs de l'expression (1), on avait considéré le

facteur médian x accompagné des k' placés à sa gauche et des Æ placés à sa droite, et si, appelant K quelque constante positive on

avait supposé #’, #" infinis, avec lim —K, on aurait Lrouvé, à