CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
où }9 n’est pas nulle, dont l'intégrale indéfinie (157)
ho
CAPES ms ei
Lg +l+,.., sig > 1, ou C+ hl(t)+..., si g'—1, est infinie en { — 0. Ainsi donc les 7 — 1 intégrales fondamentales (1) où g a les valeurs 0, 1, ..., 2 — 2 sont finies pour x infinie; on les nomme intégrales de première espèce.
Au contraire, les nr autres où cet exposant a les valeurs nr — 1, n, .-., 2n—2 sont infinies pour x infinie, et sont dites de deuxième espèce.
297. Quant aux intégrales fondamentales de la forme (8) du même n° 224, chacune d’elles devient infinie, mais seulement pour la valeur à de x, qui annule le multiplicateur linéaire du radical: on sen assure en pôsant æ —(—+#{ et raisonnant comme cidessus (296, 2°). On les nomme intégrales de troisième espèce.
Le nombre et les valeurs des quantités à dépendent non seulement de la nature du polynome w(x), mais encore de celle de la composante rationnelle F. Pour un même polynome (x), le nombre des intégrales de troisième espèce, qui est celui des quanttés dont il s’agit, est donc illimité, ce qui n’a pas lieu pour celles de première et de deuxième espèce. Néanmoins si, dans l'inté-
dx (æ—u)y"
on considère A comme une variable paramétrique, on peut dire
grale en question
qu’il y a une seule intégrale de troisième espèce, fonction des deux variables x, 4. Cette seconde variable à se nomme le paramètre de l'intégrale de troisième espèce. La distinction faite au n° 294 entre les cas où à est ou n’est pas un zéro de w(x), devient alors très secondaire.
298. Pour les intégrales elliptiques (225) dont nous allons maintenant nous occuper, on a 27% — 4, et, d’après ce qui précède, chaque détermination du polynome biquadratique (x) donnera seulement comme fonctions nouvelles pour nous une inté-
314 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. grale de première espèce
dx
ES, 7 Vo(æ)
deux intégrales de deuxième espèce
x dx x? dx Vo(z) Vo(x)
et une intégrale de troisième espèce
dr (5) i Sa (x—a)Veo(x)
dépendant tant de x que de son paramètre a.
Première étude de la fonction inverse de l'intégrale elliptique de première espèce.
299. La théorie des intégrales elliptiques a pour base les propriétés de celle de première espèce (3) du n° 298, que nous allons tout d’abord étudier.
Désormais nous appellerons w la variable d'intégration, puis a, b, c, d les quatre zéros simples et nécessairement inégaux du polynome biquadratique o(w) qui prend ainsi la forme
o(u)=G(u—a)(u—b)(u — c)(u — d), où la constante G est =£ o.
Nous appellerons æ une détermination donnée quelconque de l’intégrale indéfinie de première espèce, de manière à avoir
(1) ef du vou)
ou bien, ce qui revient au même,
(2) PE = YOU au = bu d),
u désignant maintenant la fonction inverse de l’irtégrale indéfinie, dont la considération est préférable.
300. La discussion de l'intégrale de l'équation (2), précisée par
