CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

des conditions initiales données, et considérée seulement pour des valeurs de x suffisamment voisines de sa valeur initiale, conduit aux résultats suivants.

I. Si pour x = #,, valeur quelconque de +, on doit avoir u — u,, valeur quelconque de u non égale à l’un des quatre zéros a, b, c, d de o(x), le radical figurant dans le second membre de (2) est olotrope parce qu'il ne s’évanouit pas (125), et, en vertu de la théorie générale des équations différentielles totales (301*), cette équation admet une intégrale qui est olotrope en &o.

On sous-entend toutefois, que le radical a été exactement précisé par un choix préalable fait entre les deux déterminations initiales opposées dont il est susceptible pour w = us. Si l'on admettait indistinctement ces deux déterminations, notre équaton différentielle aurait deux intégrales distinctes (olotropes en æ, ets y réduisant à wo).

IL. Si pour x = x,, u doit se réduire à l’un des quatre zéros de o(u), à « par exemple, le changement de fonction inconnue 9 U—=A+uS transforme notre équation en une autre se dédoublant en

(4) u,;=0 (identiquement), du dx

TN (ENT ENpENT u?+a—c(u? + a — d), SVG Cu

et simultanément la condition initiale en u}, = 0, pour x = xs.

À cause de l'inégalité numérique des zéros de o(u), le radical de l’équation (5) ne s’évanouit plus en uw! — 0; il y est donc olotrope (125), et par suite cette équation, comme (2) dans Île cas ci-dessus (1), admet en x — x, deux intégrales olotropes qui correspondent aux deux déterminations maintenant disunctes du nouveau radical.

Mais chacune d'elles est égale au produit de l’autre par —1; car, en changeant uw’, en — u;, dans l’équation (5), on ne fait que passer de la détermination du radical (où w!, entre seulement par uw?) à la détermination opposée, sans modifier la condition initiale. En les portant donc, ainsi que u,—0o (4), dans la formule (3), on trouvera pour u deux fonctions seulement se

réduisant à a pour x = x, et toutes deux y sont olotropes; l’une reste égale à a quelle que soit x, l’autre est variable.

TT. L’équation (2) admet deux intégrales assujetties à la condition d’être infinies pour x = x,; toutes deux sont méromorphes en ce point.

La substitution

I L du TNA (6) ILES d'où —— = —— u dx u”?

transforme l'équation (2) en

) Gi — au/)(L TL) GATE