CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

toutes les valeurs de æ qui font tomber la sienne dans une aire Sa délimitée autour du point &, de manière qu'aucun de ses points ne s’écarte de celui-ci d’une distance supérieure à n°? (301*).

On déterminera semblablement trois autres quantités posi- Lives 94 ; PP et trois aires 54, Se, Sa COntenant les points u — b, c, d, lesquelles jouiront de cette propriété, que pour toutes les valeurs de x plaçant celle de w soit dans S4, soit dans DITS OIL

F4 ë 4 / ! ! e dans Sy, cette fonction ait pour olomètres p;, pe; pq respectivement.

O d A . " A I 1 % [74 « 1/4 ] n peut e même assigner un meme o omeétire p AU ; u

intégrale de l’équation (7), pour toutes les valeurs de + qui placent celle de w” dans une aire S' contenant #”— 0, et telle que les modules des quatre quantités au", bu”, cu", du" y restent inférieurs à une quantité positive 0 < 1, c’est-à-dire qui font tomber w dans une aire (illimitée) S,, dont tous les points sont séparés du point #4 — 0 cud

DU Appelons enfin S ce qui reste du plan servant à la notation

‘ “a LARMES PES r par une distance supérieure aux modules des quantités See

graphique de w, après l’ablation des A D OO ou LL est évident que cette aire est limitée et que le radical y est olotrope, puisqu'il ne s’y évanouit pour aucune valeur de u(nidexquin’y entre pas). On peut donc encore, toujours en vertu de la théorie générale (301*), assigner un même olomètre p à notre intégrale u, pour toutes les valeurs de æ qui ne la font pas sortir de S.

D réunion destaires S,/ Sp Den 94) 9,5 © reconstitue la totalité du plan où nous notons w, il est clair qu’en appelant Ô la plus petite des quantités p,, 0ÿs Pos Par Pr Pr On peut calculer u par cheminement dans tout le plan de notation de x en faisant des pas d'amplitude au moins égale à à. Seulement l'opération qui est directe quand & tombe dans l’une des aires Su, S5, Sc, Sa et S est indirecte quand la valeur de cette fonction se trouve dans 5, ; elle s'exécute sur la fonction auxiliaire w” d’où l’on repasse à w au

moyen de la formule (6).

IL. Soient enfin s, une aire de dimensions inférieures à à, délimitée arbitrairement dans le plan servant à la notation graphique de x, x; une valeur de cette variable intérieure à sx, et w; la valeur atteinte par w en ce point. Dans set d’après ce qui précède, cette

fonction est olotrope, si u; tombe soit dans S,, soit dans Sg, soit dans Se, soit dans Sy, soit dans S, et méromorphe seulement (43)

LL LJ I » 4 si C'est dans S, puisque w'— 4 st certainement olotrope en x;.

Quoi qu'il puisse arriver, elle est donc méromorphe au moins dans s>, partant dans toute aire limitée, puisqu'on peut évidemment décomposer celle-ci en un nombre limité de fragments analogues à sx, c’est-à-dire indéfiniment.

302. En exceptant comme de raison les quatre intégrales (singulières) de l'équation (2) u— a, b, c, d, quisont identiquement constantes, et appelant Ex) une des intégrales ordinaires variables que désormais nous considérerons exclusivement, il résulte de tout ce qui précède que cette fonction E(x) est indéfiniment méromorphe, et qu’elle est entièrement déterminée par la connaissance : 1° de la valeur w, — E(x,) qu’elle prend pour une valeur

particulière +, de x ne la rendant pas infinie; 2° quand o(uo) n’est pas nulle, de la valeur correspondante R,. du radical Vo(u), choisie naturellement parmi les deux valeurs numériques opposées

de | D(u).

Ceci rappelé, on a le théorème fondamental dont voici l'énoncé :

Quelle que soit U, l'équation numérique (8) E(æ) = U a une infinité de racines finies, et, en appelant X une quelconque d’entre elles, toutes sont fournies par les formules (9) æ — X + mll + nQ, (10) T=S—X+mlI+nQ, où m,n sont des entiers (positifs ou négatifs) absolument indé-

terminés, et S, Il, Q trois constantes dont les deux dernières ont un moment 7<0 (257).

Î. La quantité x, étant arbitraire, nous la choisirons de telle sorte que w = E(x,) ne soit égale à aucune des quanutés a, b, c, d, ce qui est possible, puisque É(x) ne dégénère pas en une constante; ensuite nous observerons que Ex) étant indéfiniment méromorphe, les racines de l'équation (8) sont les diverses valeurs