ÉCRIN

que précisent les conditions iniuales x = %,, pour u = wo, condi- . à = .. La Le [ DA APT NER uon ne comportant aucune ambiguïté, puisque E (to) rs V?(uo) n’est pas nulle (48).

La fonction implicite x que définit cette équation finie n’est pas autre chose que l'intégrale de l’équation différentielle

dx I f

du E(2) Yotu)

déterminée par la même condition initiale accompagnée de

Vo(u)= R;,, pour u = uw. Il en résulte que les racines de notre équation (8) sont égales aux diverses valeurs de l'expression

(12) | SEXES re RRAN Vo(u) l’intégrale + du 13 Res 2) Je

étant prise sur tous les chemins imaginables qu'on peut tracer de us à U, et la valeur initiale du radical étant toujours —R,..

La fonction placée sous le signe f ne cesse d’être olotrope qu'aux points &, b, c, d; un quelconque de ces chemins peut donc être amené par déformation progressive, faite dans un espace où cette fonction reste olotrope, n’altérant pas par suite la valeur de l'intégrale (13), à se composer d’une succession, avec ou sans répétitions, de quelques-unes des boucles simples

(14) (æ), (0), Co) Et

allant de wo à wo et enveloppant une seule fois chacune le point correspondant à l'exclusion des trois autres, puis d’un chemin

(15) [uw U]

tracé arbitrairement et une fois pour toutes de wÿ à U (229*, Il).

320 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. Nous appellerons I la valeur de l'intégrale (13) prise sur ce

dernier chemin, et X la valeur correspondante x, + I de l’expression (12), qui est une première racine de l’équation (8).

Il. L'intégrale (13), prise sur l’une des boucles (14),(a) par”

exemple, a une valeur À, indépendante du sens de rotation dans lequel cette boucle peut être parcourue; on a de plus

(16) A 2 us

l’intégrale étant prise sur un chemin [usa] tracé de u, à a, de telle sorte que, doublé par lui-méme en sens inverse, ül puisse être considéré comme une boucle (usaus) limitant avec (a) une aire ne contenant aucun des points b, c, d.

Soient [wow], [wow |" les chemins d'intégration constitués par la boucle (a) parcourue à partir de w, dans les deux sens de rotation possibles, À,,, À, les valeurs correspondantes de notre PRET : ( intégrale, et bu), "b(u) les valeurs acquises pa un

pu)

même point w de ces deux chemins géométriquement identiques, après le parcours des arcs de l’un et de l’autre qui conduisent de u, en ce point, le radical, lui, partant dans les deux cas de la même valeur initiale R,.

On a 'd(u)— —"L(u), parce que chacun de ces ares devient équivalent à l’autre quand on le fait précéder de la boucle (a)

(166, IT), (115, 2 Jine); il en résulte évidemment

= f yaudu=— f qua =—|- f [otto]" AA

[ouç]"

ET ( du — Au

parce que [uw |” n’est pas autre chose que [wow]! parcouru à rebours.

Déformons enfin la boucle (a), sans qu’elle franchisse aucun des points à, b, c, d, jusqu’à ce qu’elle se compose : 1° d’un arc Fuoa] du chemin [w,a], bmité à un point & se rapprochant indéfiniment de a; 2° d’un contour fermé [42] de dimensions infiniment petites, enveloppant a une fois seulement; 3° de l'arc [aus | géométrique-