CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

de w(u), les racines de l’équation (8) sont simples; sinon elles sont doubles et congrues aux quatre quantités

DAS TO TMS RON SN IE. 0 (35) ; on men LA en Ve EUR 2 2 2 2 2 2 2 respectivement, si toutefois S, H, Q ont été choisies conformé-

ment aux égalités (24), (27).

Si o(u)ne s’évanouit pas pour u = U,E'(x)=— Vo(u) en vertu de l'équation différentielle, (2) ne s’évanouit pas non plus pour les valeurs correspondantes de æ, qui toutes sont ainsi racines simples de l'équation (8).

Sivo(u) s'évanouit, ce qui exige U = a, b, c, d, E!(x) s'évanouit aussi, et toute valeur de æ correspondant à UÜ est racine multiple. Mais, comme l'équation différentielle donne

, du LE E"(x) = mr = NA

et que w'(U) n’est pas nulle parce que o(u) n’a que des zéros simples, E’(x) ne peut s’évanouir, et la valeur considérée de x est racine double. |

À cause des quatre relations (17) et analogues, les valeurs de l'intégrale (13) pour U — a, b, c, d'sont congrues à ce que deviennent les quantités (22) quand on ÿ substitue successivement à Î les moitiés des quatre intégrales définies (18), c’est-à-dire à ces moitiés elles-mêmes, comme on le constatera facilement. Pour les mêmes valeurs de U, les racines de l'équation (8) qui sont de la forme (12) se réduisent donc bien de même aux quantités (35), ce que l’on aperçoit sans peine en ayant égard à la formule (27) et aux trois dernières égalités (25).

Nous appellerons valeurs cardinales de E(x) ces quantités remarquables (34) dont la substitution à U rend ainsi doubles toutes les racines de l’équation (8), et aussi, relativement à cette fonction, valeurs cardinales de x, les racines mêmes de cette équation, congrues aux quantités (35), comme on vient de le voir.

Pour U — 0, les racines de cette même équation sont les zéros

deE(æ).