V. Les racines de l’équation (30) sont les infinis de E(x

Chacun d’eux est simple, et tous sont congrus à deux d’entre CUX iNnCONgrus.

Ün infini «, de degré p pour E(x), est de degré b +1 pour E’(x) (36), par suite de degré 2(u +1) pour [E/(æ)[?; d'autre part, il est de degré 41 pour e[ E(x)], polynome de degré effectif 4 en É(x). L’équation différentielle (2) donnant [ E/(x)]? — o[E(x)], on a donc 2{u +1)= 4, d'oùu=r.

On arrive à la même conclusion, en observant qu'en vertu de la formule (6) et de l’équation différentielle auxiliaire (9), «, infini

É . I de w, est zéro simple de w”— +

La quantité $ — S — % est un second infini de E(x) à cause de l'identité (32), et tous les autres sont congrus à à ou à 6 (303). Mais on ne peut avoir 8 — à — mII + nQ, car cela donnerait

S—9a—ml+naQ,

d’où « = quelque valeur cardinale de æ (IV), ce qui est impossible puisque les valeurs cardinales correspondantes (34) de E(x) ne sont pas infinies.

VI. Si, pour une intégrale donnée E, (x) = E(zx + l) de l’équalion (2), la constante supplémentaire S, est nulle (ou congrue à o), la relation E,(S, — x) — E(zæ) prend la forme E, (— D) ER propre à cosæ (232), et en vertu de laquelle E, (x) est une fonction paire de æ. On a S;=S — 2T (III); pour qu'il en soit ainsi, il faut donc que la différence S — 2T soit congrue à o, par suite quel soit congrue à quelque valeur cardinale de x.

Parmi les intégrales de l’équation (2) figurent toujours aïnst 4 fonctions paires, et pas davantage. Pour x — o, elles se réduisent respectivement aux quatre valeurs cardinales de E(æ) (IV).

305. Terminons ce paragraphe par une étude rapide de l’intégrale (1) dans le cas où le radical porterait sur un polynôme d(u) du troisième degré seulement, mais toujours sans zéro multiple.

D'après le n° 293, l'intégration de l'équation

du ; , (36) = VY(u— a)(u —B)(ue)

dx