CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. an
se ramène à celle de l'équation (2) par une simple substitution rationnelle du premier degré.
En appelant 4, d deux constantes 0, dont la première n’est égale à aucun des zéros «, 6, e de Y(u), et posant
( APE (g—«æ)(g —6)(g—c)= 6G;,
(33) UV: dax MAP db b en de 4
de a UN J EL
G n’est pas nul, les quatre quantités &, b, c, d'sont deux à deux inégales, et la substitution du u — d
Lt
amène l'équation (36) à la forme (2) précédemment étudiée. Son intégrale E,, (+) est donc fournie par la formule
qE(x)
(38) E, (x) — Fr
Il résulte de là que E, (x) est, comme E(x), indéfiniment méromorphe, et qu’elle jouit de toutes les propriétés générales reconnues à cette fonction dans les deux numéros précédents. Celles qui font l’objet des alinéas IV et V du dernier se modifient toutefois comme il suit.
I. Les infinis de E,(x) sont doubles et tous congrus à l’un quelconque d’entre eux. Ge sont effectivement les zéros du dénominateur E(x) — d, qui sont tous doubles pour lui et congrus à
parce que d est une valeur cardinale de E(x) (304, IV).
IL. Sixest un infini de E, (x), la constante supplémentaire de cette fonction est congrue à 24.
En outre, l’équation E. (x) = © acquiert, pour O — «, 6, e, des racines doubles congrues à
S S TS Q Ne Sn Om 4} 2 2, x 2
La constante supplémentaire de E,(x) coïncide évidemment avec celle de E(x), pour laquelle on peut prendre la quantité S
définie par la formule (25). Comme on a E(= + )=d
(304, IV), E,(æ) est infinie pour & = © + , d’où
S=2a+mil+ no.
D'autre part, pour qu’une valeur de x annule E, (x), il faut et il suffit, en vertu de la relation (38), qu’elle annule E'(x), dès lors (loc. cit.) qu’elle soit l’une des trois premières valeurs cardinales (35), puisque la dernière rend infinie E, (x) et par suite E° (x).
Comme les valeurs correspondantes de E(x) sont à, b, c, celles de E,(x) sont «, 6, ce, à cause de la même relation (38) combinée avec les formules (37).
On retrouverait facilement toutes ces propriétés de la fonction E,(x), en étudiant directement l'équation (36) par la méthode suivie ci-dessus pour l’équation (2).
IT. En résumé, et nonobstant la dissemblance extérieure des équations différentielles génératrices, les fonctions E(x), E (x) ne diffèrent les unes des autres qu’en ce seul point : les quatre valeurs cardinales de x (35) rendent toutes E(x) finie, tandis que l’une d’elles rend E, (x) infinie. En d’autres termes, E(x) a ses quatre valeurs cardinales finies, tandis que E, (x) en a trois finies et une infinie, particularité que notre notation rappelle.
