SUITE DUÜ PRÉCÉDENT. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

Considérations arithmétiques.

306. Nous dirons qu’une fonction f(x) d'une seule variable est bipériodique, au couple de périodes I, Q, de moment non nul (257), quand elle satisfait à l'identité

fa + mi + nQ) = f(x),

quels que soient les entiers positifs ou négatifs M, n.

En supposant, comme nous le ferons toujours, que f(x) est indéfiniment méromorphe et ne dégénère pas en une constante, cette fonction jouit, relativement à chacune de ses périodes, considérée isolément, des propriétés générales des fonctions unipériodiques mentionnées aux n°° 251 et suiv.

207. Comme nous l'avons constaté (304), (305), les fonctions E(x), E,(x) sont toutes bipériodiques; il en est de même pour les fonctions composées rationnelles, finies ou différentielles, de pareilles fonctions quand elles sont douées des mêmes périodes (255).

Inversement, on démontre qu’une fonction méromorphe bipériodique s'exprime toujours algébriquement au moyen tant de Ex) que de E, (x), si toutefoi: ces fonctions ont les mêmes périodes (381, inf.). Il y a ainsi identité, au fond, entre la théorie des fonctions E(x}), E.(x), et celles des fonctions bipériodiques méromorphes de toutes origines. Mais la double périodicité de ces fonctions une fois établie, on facilite beaucoup leur étude ultérieure en délaissant souvent l’équation différentielle génératrice, pour

* adopter cette nouvelle propriété comme base principale du rai-

sonnement. La théorie des fonctions E(x), E,(x) (comprenant celles de. leurs composées algébriques) prend ainst les allures d’une théorie générale des fonctions bipériodiques, considérées indépendamment de leur provenance. Dans bien des questions d’ailleurs, les fonctions bipériodiques s’introduisent autrement que par la composition de E(x), E,(x) avec des composantes algébriques.

308. Relativement à ses deux périodes IT, Q, considérées ensemble, une fonction bipériodique jouit de propriétés générales caractéristiques dans le détail desquelles nous allons entrer.

On a d’abord cette proposition :

La valeur particulière a = a! + ia" de x ayant été choisie arbitrairement, toute valeur x'+ ix" de cette variable est congrue (304, 1) à quelque autre de la forme

(1) a+pll+ ga, où p, q sont des quantités réelles convenables tombant l’une et l’autre entre o et 1.

Le système d'équations linéaires simultanées

lWP+9Q—=z — a,

| I" P 2e 97Q =, DES 714

est possible et déterminé, parce que le déterminant des coefficients des inconnues P, Q, moment de II, Q, est essentiellement supposé <o;et,sim,m—ieln,n—+1sont les paires d’entiers consécutifs entre lesquels tombent P, Q,onaP=m+p,Q=n+g, p, q tombant entre o et 1. Ces équations donnent donc bien

æ=a+pl+qgQ+(mli+noQ).

309. Tous les points dont les affixes sont de la forme (1) tombent évidemment à l’intérieur du parallélogramme constituant l’espace commun à deux bandes dont les bords de l’une passent par les points

a, a+lI et sont parallèles à Q, dont les bords de l’autre passent par