Sc la fonction de la seule variable x

est méromorphe dans une aire limitée S, on peut poser

(2) RS ((), où

C5 a URL RSN ECT A

(4) Qi, Ur +.) y

sont des constantes inégales en nombres limités, où (5) DE LME AOL (6) Ps Me oc. y

sont des entiers positifs, où enfin f(x) est une fonction qui est olotrope dans l'aire S et ne s'y évanouit pas.

En appelant a, a”, ... les zéros de F(x) situés dans l’aireS, et

m,m/,... leurs degrés de multiplicité, en appelant 0, #7, ...,

uw, a”, ... les mêmes objets pour o(x), en appelant enfin F,(x),

v,(æ) deux fonctions de æ, olotropes et sans aucun zéro dans l'aire S, la formule du n° 6 donne immédiatement

(æ— a'yn'(x— a")n".. : F,(æx)

AGE Co — a (œ — ju”. v1(%)

On en déduit la relation (2) par la suppression de tout diviseur commun aux deux termés du premier facteur du second membre; Fi(x

car la fonction est olotrope et dépourvue de tout zéro dans

l'aire S, comme rapport de fonctions jouissant toutes deux de cette double propriété.

32. La formule (2) conduit immédiatement à plusieurs consé- | quences qu'il importe de noter.

I. Dans l’aireS, la fonction méromorphe f(x) ne peut cesser d’être olotrope qu'aux points (4). Car elle est aussi le rapport des deux fonctions olotropes

(T — ai)... (x — ag)lef(x) ct

(æ —— de )Pa s.. (X — ay), dont la seconde ne s’évanouit qu'aux points dont il s’agit (250*, II).

IT. Les seuls zséros que f(x) possède dans l’aire S sont les quantités (3) aux degrés de multiplicité (5) respectivement.

Car le rapport ci-dessus mentionné (1) ne peut s’évanouir que pour les valeurs de æ annulant son numérateur, qui se réduisent aux quantités (3) parce que f(x) n’a aucun zéro dans S.

D'ailleurs on peut écrire, par exemple,

FR de m. (TT Ga)a...(x — ag) "ef(@) f(æ)=(æ — a)" (D — u)n...(@— ay}

où, à cause de l'inégalité de toutes les quantités des deux suites (3), (4), le dernier facteur du second membre est olotrope et non nul en æ—a,;, comme rapport de deux fonctions dont chacune jouit de cette double propriété (3).