CHAPITRE II. ——- FONCTIONS MÉROMORPHES

III. Quand x tend vers l’une quelconque des valeurs critiques (4), f(x) est infinie, partant non olotrope.

Car on peut écrire aussi, par exemple,

KES te) (9) PGA ue”

où, pour les raisons ci-dessus (II), la fonction

(æ— d)n...(m— as)"sf(x) CR) (D à, JA

Jitx)=

olotrope en x = %,, y prend une valeur essentiellement différente de zéro.

33. En conséquence, on nomme les valeurs singulières (4) de la variable unique de la fonction méromorphe f(x) les in/finis de cette fonction, et les entiers positifs (6) leurs degrés de multiplicité.

Pour exprimer ce double fait qu’une fonction est infinie en x —», mais méromorphe, la plupart des auteurs disent maintenant qu’elle ya un pôle, et aussi qu'elle y est affectée d’une singularité polaire.

D'après la formule (5), et en appelant u un entier positif indéterminé, le produit (x —4,)“f(x), qui est méromorphe dans léreS est, en x — «;, infini si << u1, olotrope et non nul RATE olotrope mais nul si u > 1. On peut donc dire aussi que Le degré de multiplicité d’un infint a, est le plus petit des nombres entiers p, jouissant de la propriété de rendre le produit en question, ou bien olotrope en x — 4, ou bien même seulement non nul.

Quand une valeur de x ne rend, n1 nulle, ni infinie, la fonction méromorphe f(x), on dit quelquefois, non seulement qu'elle est pour cette fonction un zéro de degré de multiplicité nul (3), mais encore qu'elle est un infini, de degré de multiplicité nul aussi.

34. Si f(x) représente une fonction quelconque, olotrope et sans aucun zéro dans l'aire S, le second membre de la relation (2) constitue un type général des fonctions qui sont méromorphes dans cette aire, en y possédant les zéros et infinis (3),(4), aux de-

grés (5), (6).

Pour qu'une expression de cette forme se réduise identiquement à une constante non nulle, il faut et il suffit que l’on ait

(8) Mi =M=.. = Me=bM=b=...=hHy=0,

et que f(x) se réduise identiquement à la constante dont il s'agit. Car sim,, par exemple, n’était pas nul, l’expression s’annulerait pour +— @,; si u, ne l’était pas, elle serait infinie pour æ =. Les égalités (8) doivent donc être satisfaites, et comme elles réduisent l’expression considérée à f(x), il faut bien que cette dernière fonction soit identiquement égale à la constante voulue. Il: est évident d’ailleurs que l’ensemble de ces diverses conditions est suffisant.

35. Pour que deux fonctions, méromorphes dans l’aireS, y soient égales identiquement, il faut et il suffit que leur décomposition par la formule (2) donne, pour l’une et l’autre, des facteurs respectivement identiques. Il faut effectivement que leur quotient se réduise identiquement à la constante 1; or, après réduction, ce quotient se présente sous la même forme

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