CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

sont deux à deux incongrues, mais que leur ensemble en contient toujours une congrue à toute autre colonne donnée.

3412. Il y a précisément = V nœuds du réseau construit sur les périodes simples I, Q, qui tombent dans chaque marlle du réseau construit sur les périodes composées Il, Q, du n° 310.

Suivant l’abaque-diviseur

(14) LES B, 9 de déterminant V, soient nm \ mEV) (15) M ; ‘ n£V)

les + V restes incongrus (311), et appelons encore x, un nœud

Ô ) PP 0 quelconque du réseau simple. Deux quelconques des + V nœuds de ce réseau

(16) tot ml+nO, æ+ml+n"Q, ...

sont incongrus selon le couple des périodes composées Il, BEE car si les deux premiers, par exemple, étaient congrus, on aurait

(m"— m'}U+(n'—n)Q = pli + gi,

Pi, g1 désignant deux entiers. En substituant à Il,, Q, les seconds membres des égalités (3), il viendrait ainsi

(7) [m'—m—(api+yg:)]N+[n"—n2'—(Bpi+ 0g1)18 =o, d’où (257)

aPi+Y91i= M EUN,

Bpi+ôgi=n" —n

parce que, dans légalité linéaire et homogène (17) entre II, Q, ces quantités ont un moment A <0, et sont multipliées par des coefficients réels. Les deux premières colonnes (15) seraient donc congrues suivant l’abaque (14), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Mais tout nœud x0 + MI + NO du réseau simple est congru suivant le couple composé (I, Q@), au nœud æ5 + mÜOTI + n2Q mo (ML jp congrue à} N

suivant l’abaque (14); on s’en assure par le même raisonnement.

du groupe (16) qui correspond à une colonne

Enfin tout point congru selon le couple composé (Il,, Q,) à un nœud du réseau simple est encore un nœud de ce même réseau.

En appelant donc x,, æ:, ..., æ:w les points qui, dans une même maille donnée du réseau composé, sont respectivement congrus aux points (16) selon le couple composé (IL,, Q,) (308), les points x, +, ...,æ+v sont aussi des nœuds du réseau simple, tous différents les uns des autres puisqu'ils sont incongrus selon (IL, Q,), et tout nœud du réseau simple étant congru à quelqu'un d’entre eux selon (If,, Q,) coïncide avec lui ou sinon tombe à l’extérieur de la maille considérée.

313. Pour que le couple (H, Q) soit lui-méme composé de (IL, , Q,), cl est nécessaire que V se réduise à Æ 1; car le moment du second couple, qui est toujours un multiple de celui du premier, doit alors en être à la fois un sous-multiple, ce qui exige Mi = E A, d’où V — +1 à cause de la relation (4). Cette condition est d’ailleurs suffisante, parce que les égalités (3) donnent inversement

Len