CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

314. Un couple de périodes est dit élémentaire, s’il n’est composé d'aucun autre de moment numériquement moindre.

Toute fonction bipériodique f(x) possède quelque couple de périodes élémentaires.

S'il n’en était pas ainsi, on aurait, à partir du couple donné (I, Q@), de moment M, une suite illimitée d’autres couples, de moments AV, M, ..., AL, ..., composés chacun du suivant à l’aide de systèmes de multiplicateurs entiers dont les déterminants V', V', ..., VO, ... seraient tous >> 1 en valeurs absolues.

Les relations (4)

DO == VON ON OMC EI, hte donneraient NC = V'V'... VU ME,

et les périodes II, Q résulteraient ainsi de la composition des périodes I, Q() par un système de multiplicateurs dont le déterminant @;— V'V'...V( serait numériquement aussi grand qu’on le voudrait.

En appelant maintenant x, quelque valeur de x rendant f(x) olotrope, l'équation f(x)— f(x5)—0 admet pour racines au moins tous les nœuds du réseau construit sur I, Q(), à parur du premier nœud x,. Et, comme Æ 0; de ces nœuds tombent dans une même maille [ AA] d'un réseau construit sur IT, Q (312), cette équation aurait dans l’aire limitée [À] des racines distinctes en nombre au moins égal à + @;, c'est-à-dire illimité. Or, c’est impossible (31), puisque f(x) y est méromorphe et ne se réduit pas à une constante.

Les périodes des fonctions E(x), E, (x), considérées aux n° 304, 305, sont évidemment élémentaires.

315. En composant un couple de périodes élémentaires, avec des multiplicateurs de déterminant +1, on obtient une infinité d’autres couples qui sont également élémentaires.

Un réseau, une maille sont élémentaires, quand ils sont construits sur des périodes élémentaires.