Toute période d’une fonction méromorphe bipério

dique est composée d’un couple donné quelconque de périodes élémentaires.

Soient f(x) la fonction considérée, I = + ill", O = 0'+ 10" un de ses couples de périodes élémentaires, et Y = Y’+ :Y” une période quelconque de la même fonction. Appelons ps, ps, -.. une suite indéfinie d’entiers inégaux, puis p1, 0», -.. les quantités qui, dans une même maille [HO], sont congrues à p,Y, pe, ... respectivement (308).

Il ne peut arriver que p1, p2, --. Soient toutes inégales; car autrement, et à cause de

fe) = fe +pY)= f(x +mi+n0+p)= f(x +p)

où m, n sont des entiers convenables, l'équation f(x)—f(xs)=—=0, x n'étant pas un infini de f(x), aurait pour racines les quantités distinctes æ, + po qui sont en nombre illimité et tombent toutes dans l’aire limitée que constitue la maille de sommets æ, æ0 +, Zo+Q@, to+H+Q; or c’est impossible, puisque la fonction f(x) — f(to) est méromorphe dans cette aire, sans dégénérer en une constante.

Il existe donc deux indices £, j donnant p;—p;, c'est-à-dire pi —-mU-nQ=p;Y—m;ll—n;Q, ou bien —(m—m;)H—(n—n;)Q +(pi—p;)Y =o.

En d’autres termes, l’équation indéterminée Im+Qn+Yp=o,

résolue par rapport à m, », p, admet quelque système de solutions réelles et entières, où la valeur de p n’est pas nulle, ni par suite celles de m, n à la fois, à cause de Y 0.

Soient D, 0,000)

ces solutions entières, débarrassées de tout diviseur commun > 1. En vertu de la théorie générale des équations linéaires à coefficients entiers (!}, l'équation de ce genre en à, u, y,

(18) D} + WU + LY — 0,

(*) Voir mon Mémoire intitulé Solution du problème général de l’Analyse indéterminée du premier degré(Annales sc. de l’École Normale sup., mars 1883).