CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

admet quelque paire de systèmes de solutions entières, dans le

tableau desquels À, Mis 1 (19) st 2 2, Mas Va

les déterminants des éléments laissés par la suppression successive des colonnes 1, 2, 3 sont égaux à 5, w, u, respectivement. Comme on a

(20) OI + WQ + 0Y — 0,

équation (18) admet encore le système (IH, Q, Y) de solutions (non entières), outre ceux du tableau (19). Mais ces derniers étant distincts, on a forcément, en vertu de la théorie générale des équations linéaires (voir par exemple l’opuscule cité p. 339)

Il Au + 29,

(21) Q'= miuusr, = ur Va Ÿ,

u, ÿ désignant certaines quantités (imaginaires) convenables. Comme les déterminants ©, w, u des trois paires de colonnes du tableau (19) associées deux à deux n’ont aucun diviseur commun, il résulte encore des principes généraux de l’Analyse indéterminée, que les équations à coefficients entiers

MX + MY +2 = [, À X + Uo YŸ + va 2 — 0

admettent quelque système de solutions entières À, p, v, et l’addition membre à membre des relations (21), multipliées par ces quantités respectivement, donne

u = MI + pQ + vY,

en vertu de quoi & est aussi une période de f(x). On prouverait de même que # en est une autre.

Or ces deux nouvelles périodes w, ? sont élémentaires, puisque I, Q, qui sont élémentaires aussi, en sont composées d’après Îles deux premières équations (21). On a donc À 2 — oi =UV—=—E1, ce qui réduit la relation (20) à

Y = = (oll + wQ),

et Y est bien composée de II, Q.

317. En particulier, deux couples de périodes élémentaires sont toujours équivalents (313); car chacun d’eux est composé de l’autre, d’après ce qui vient d’être dit.

318. Aucune fonction d’une seule variable, indéfiniment méromorphe, ne peut (sauf dégénérescence en une constante) avoir trois périodes irréductibles à d’autres en moindre nombre.

Car si deux de ces périodes ont un moment nul, la fonction dont il s’agit, considérée comme unipériodique, en admet une autre de moindre module, dont elles sont toutes deux composées (261). Si le moment de ces deux premières périodes n’est pas nul, la fonction considérée comme bipériodique possède nécessairement quelque couple élémentaire (314) dont la troisième est com-

posée (316).

319. Sif(x)est une fonction bipériodique, cas auquel f(x), f'(æ), ... jouissent de la même propriété (254), toutes ces fonctions ont les mêmes couples de périodes élémentaires.

Soient (II, Q) un couple de périodes élémentaires de f(x), par suite de périodes, élémentaires ou non, de f'(x), et (sw, w) quelque couple de périodes élémentaires de cette dérivée. De

fr+o)=f{(x),, f(&+oe)=/f(r) on tire, en intégrant et appelant C, D certaines constantes, f(r+m)=f(x)+0G f(e+o)= f(x) +D, et plus généralement, en appelant m, n des entiers quelconques, (22) f(x+ mw+nw)= f(x) + mC+nD.

Comme II, Q, périodes de f(x), sont composées de ses périodes élémentaires &, w (316), on à \ I = aw + uw,

(Q = y5 + dw,

les multiplicateurs &, B, y, à étant entiers et de déterminant 0. Cela posé, l'attribution successive à m, n, dans l'identité (22),