CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

des couples de valeurs (x, 8), (7,9), donne, à cause des dernières égalités écrites, | flæ+1)=/f(æ)+aC+8D, f(æ+Q)=f(x)+yG+D, puis aC+ BD =,

{ yG+ÈD =0o,

parce que IT, Q sont des périodes de f(x), puis finalement C— D —o, à cause de ad — Êy 0.

L'identité (22) montre ainsi que 5, w sont des périodes de f(x); elles sont donc élémentaires pour cette fonction, comme pour f(x), puisque les périodes élémentaires II, Q en sont composées. Même raisonnement pour f'(x)et f"(x), f(x) et f(x), etc.

Propriétés générales d’une fonction bipériodique indéfiniment méromorphe.

320. Si f(x) est une fonction bipériodique indéfiniment méromorphe, la résolution, par rapport à x, de l’équation

fournit, dans chacune des mailles d’un même réseau, des

racines numériquement distinctes, dont la somme des degrés

de multiplicité est au moins —1,el conserve, quelle que soit u, une certaine valeur constante.

En outre, la somme dont il s'agit a des valeurs égales pour

les équations (1) et

‘4 It)

I. Tout d’abord, et pour une même valeur particulière wo attribuée à w dans l'équation (1), il est évident : 1° Que ces sommes sont limitées; car, s’il en était autrement,

f(x) — uo, où FC) se réduiraient à des constantes (31), et par

suite aussi /(x), contrairement à l'hypothèse, puisque cette fonction est indéfiniment méromorphe, et que chaque maille constitue une aire limitée ;

»0 Que la valeur de chacune est la méme pour toutes les

mailles, parce que f(x) a pour périodes les deux quantités sur lesquelles le réseau a été construit (252), (309).

IT. Nous observerons ensuite que toute fonction implicite x de u, racine variable de l’équation (1) s’ilen existe, peut étre calculée indéfiniment par cheminement, en faisant des pas d’ Dore au moins égale à quelque quantité positive invariable à, et cela à l’ A de développements soit olotropes, soit rhisomorphes (153), mais alors dépourvus de termes à exposants négatifs, qu'en conséquence, tout cheminement limité laisse cette racine essentiellement finite.

Soient

les racines de l’équation (2), infinis de f(x), contenues dans une maille donnée du réseau, lesquelles sont en nombre limité (LE, 1°)et

(3) (a); (a), sis (ay)

des aires délimitées autour de ces points avec des dimensions assez faibles pour donner mod f(x)> Ro, chaque fois que æ tombe dans l’une ou dans l’autre. Soit encore (A) la partie de la maille considérée, que laisse l’ablation des aires (3).

Dans l'aire limitée (AU), f(x) est olotrope, par suite sa valeur reste dans une aire également limitée ; de plus l’équation f(x) = 0 n’y possède que des racines en nombre limité.

Aussi longtemps donc que la marche de w ne fait pas sortir x de l'aire (34), l'équation (1) remplit, soit les conditions sous lesquelles subsiste le théorème général du n° 307”, soit au moins celles assurant la validité des conclusions formulées aux n° 141 et suiv.; les développements successifs (olotropes ou rhizomorphes) de x ne contiennent aucune puissance à exposant négatif des accroissements de uw, et il est visible qu'aux rayons de convergence de tous ces développements, on peut assigner une même limite inférieure nt d'.

Dans les aires (3), HE Fa jouit des mêmes propriétés que f(x)

dans (#; chaque racine x de l'équation (1) écrite

“| trie