RE PEN

w(æ) étant olotrope et non nulle en æ — 4, et le résidu correspon-

dant & est De D ot 1) (x) (56).

L’inverse arithmétique de f(x) y est olotrope avec « pour

zéro p°; on en conclut facilement (141 es suiv.) que l’équation

Es, U DL CP ar

PCE)T ;'@LARNRSE

résolue par rapport à x a, pour # infiniment petite, racines infiniment voisines de « et de la forme

(10) L'= à + PU + Gph +. .., ce qui, en posant — {#, donne

LT=a+alt+ aol? +..., puis l'identité

p(a+ait+al?+...)=(a+ at + ast? +...)

On en conclut d’abord o(a) = af, d’où a, £ 0, quel que soit; on en conclut ensuite, pour LH —1, 2, 3, -.. SuUCCessivement,

(a) —=1a1;, g'(a)=1.20@, BAG) r.2.34%3; re

c’est-à-dire CEE AC TT 2 A, 343, UE

et di, Go, 43, ... ne sont pas autre chose que les coeflicients de # dans la série (10) construite pour 4 — 1, 2, 3, ....

Le résidu intégral se trouve être ainsi le coefficient de # dans le développement, par la formule de Maclaurin, de l'expression J(») du n° 324, IL. Il se réduit donc à zéro, comme les coefficients de toutes les autres puissances de », puisque J(v)—I(w)n'est qu'une simple constante.

Relations diverses entre des fonctions bipériodiques ayant en commun un même couple de périodes.

330. Voici d’abord une extension de l’observation générale du n° 255.

Si Les coefficients de l’équation entière en U, (1) Un + fi(æ)Un-1 +... + fini(&)U + fm(x)= 0,

sont des fonctions toutes bipériodiques (indéfiniment méromorphes), admettant un même couple de périodes (M, Q), et st cette équation offre quelques racines, fonctions indéfiniment méromorphes de x, chacune de celles-ci admet un couple de périodes communes à toutes les fonctions f(x), : -., fm(æx):

Comme le changement de x en æ + n’altère aucun des coefficients de l'équation (1), les racines méromorphes de celle-ci se permutent simplement entre elles, et, par suite, se partagent en certains groupes, dans chacun desquels le changement considéré opère une simple permutation circulaire.

Supposons donc que l'addition de I à æ change ainsi les p

racines F:(æx), F;(x), à es F,(x)

en Folx), F3(x), late Fi(xz),

respectivement. Les identités F;(x+1)=F:(x), F,(x + ID) =F;(x), stolots F,(æ+l)=F;(x)

entraînent celle-c1 F;(x + pIl) = F:(x),

en vertu de laquelle toute racine F,(x) appartenant au groupe

CIAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL. 309

considéré admet pll pour période; et l’on prouvera de même, que F,(x) admet une autre période de la forme gQ, où g est un entier. Or, pl et g@ sont des périodes de moment ;<o, qui sont communes aussi à tous les coefficients de l’équation (1).

331. Réciproquement, si les fonctions indéfiniment méromorphes f(x), F(x) ont un couple de périodes communes (I, @), relativement auquel elles sont d’ordres m, M (321), elles sont liées l’une à l’autre par une équation entière et irréductible de

3 M m : T Nr:

degrés M, — > Mu js OÙ d désigne un diviseur commun

des nombres m, M, qui sera précisé tout à l’heure.

I. L'ordre de f(x) étant m, et f'(x), dérivée par rapport à x du premier membre de l’équation |

ne pouvant, parce qu’elle n’est pas identiquement nulle, s’évanouir pour toutes les valeurs de x, u qui vérifient numériquement cette équation, la résolution de cette dernière par rapport à x fournit certainement (147), (320), (321) m fonctions implicites de w, savoir

(3) T1, Ta, .….…, Tim)

dont deux quelconques ne peuvent être, quelle que soit w, égales ou congrues selon IT, @, puis, outre ces racines, une infinité d’autres dont chacune au contraire est, quelle que soit w, congrue à quelqu’une d’entre elles. Et, à cause de la communauté de ces périodes, la substitution de toutes ces racines dans F(x) donne d’abord les fonctions de w

(4) F(zx1), F(x2), ….) F(T y ),

puis une infinité d’autres dont chacune est identiquement égale à quelqu’une de celles-c1.

Cela posé, les ordres m, M ont un diviseur commun d(21)

tel, que les fonctions simples (3) se partagent en mu —

groupes de d chacun, jouissant de cette propriété que deux des fonctions composées (4) sont identiquement égales entre elles

ou inégales, selon qu’elles correspondent à deux des fonctions (3) appartenant ou non à un même groupe. De plus, d divise M, et M racines analogues X de l’équation

se partagent en M, — à groupes de d chacune, jouissant des mémes propriétés relativement à f(x).

1° De u à u, on peut faire décrire à cette variable un chemin Jermé tel, que l’une des fonctions (3), x; choisie à velonté, soit changée par ce parcours en une autre x; également arbitraire. |

Si, pour la valeur initiale (et finale) de w considérée, toutes les fonctions (3) sont numériquement inégales, on obtiendra évidemment un pareil chemin en faisant marcher + de x; à x; sur une ligne quelconque, puis en prenant la ligne que décrit simultanément w— f(x). Cette dernière ne peut manquer d’être fermée, PUISQUE Ar) (—= ue

Sinon, et cela parce que les fonctions (3) ne peuvent être identiquement égales, on prendra pour w une valeur w/ assez voisine de sa valeur initiale pour qu’on puisse aller et revenir directement de u à u’ (163 et aliàs), rendant numériquement inégales en outre les quantités correspondantes æ°, ..., æ°,; on tracera de uw! à uw! un chemin fermé [w’] changeant x; en æ° (1°), et, pour le chemin fermé cherché, on pourra prendre évidemment celui que forment : le segment rectiligne [uu/], le chemin [w/|etle même segment|uw'u| parcouru à rebours.

2° Admettons maintenant que d des fonctions composées (4), les d premières pour fixer les idées, soient égales identiquement entre elles, mais non à quelqu’une des m — d autres (en supposant d << m); faisons décrire à & un chemin fermé changeant x, en Layi, € NOMMONS Lys, Ladyss e.-, Load les fonctions dela suite (3) qui sont congrues, suivant les périodes considérées, à celles dans lesquelles se changent en même temps æ, æs, ..., æa. Les identités

(6) Gr) = F (re RER (eS donneront évidemment aussi

F(xzar1) = F(xa+2) na F(%4) (252* ‘À