I. L'ordre absolu de f(x) est m

Soient 4, &, -.., ayles infinis distincts que f(æ) possède dans sa maille élémentaire, et tu, LL, -.., y leurs degrés de multiplicité dont la somme reproduit » (321). Ces infinis appartiennent tous à f(x), mais aux degrés Hi+1, Ma +, -.., Hy il (36); et, dans la même maille qui est élémentaire aussi pour f'(æ) (819), cette fonction n’en possède aucun autre (165*). La somme m+Y— m' de ces nombres est donc l’ordre absolu de ASE

IT. Les fonctions w/— f'(x), u, étant méromorphes et d'ordres m', m, relativement à leur couple commun de périodes élémentaires, sont donc liées par une équation entière irréductible

(16) Yu tuh="0,

dont les degrés effectifs sont les quotients de m», m' par uelque 8 q ) par quelq

diviseur commun (331).

II. Deux valeurs particulières x,, x: de x sont congrues suivant les périodes élémentaires, si l’on a à la fois

fa) = fe), Fes) = fre)

et si les valeurs de ces dernières quantités n’annulent pas wthoQu!, u) dérivée partielle par rapport à w, du premier membre de l'équation (16).

L’équation différentielle (16) ne contenant pas x explicitement,

les fonctions de #, 14 = f(æ1 + *), lo = f(X2 + €), satisfont toutes deux à la même équation différentielle du premier ordre

et respectivément, par suite, aux équations différentielles immé-

diates

du di FA b1(U) RARE Va(u),

où d,(u), L,(n) sont deux racines convenables de l’équation (15) résolue par rapport à uw. Mais comme pour t — 0 par hypothèse, on a (ou —(0u, (Ou, —(0u,, et que ces quantités n'annulent pas 0) (u!, u), la racine dont, pour 4 — (®u, —(°/n,, la valeur initiale est (un! — (y, est unique et olotrope (307*), (308*). Les composantes U, (u), Y,(u) sont donc identiques, de plus olotropes en 1 — (on, — (u,, et les deux fonctions ;, M, satisfont à une même équation différentielle immédiate

du R | mn

dont le second membre est olotrope dans ces conditions initiales. Ces mêmes fonetions, ayant pour t — 0 des valeurs initiales égales,