CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

sont identiques (302*, III); en d’autres termes on a, quelle que

soit ?, Sri) = Fr);

moyennant quoi (253), la différence x: — x, se réduit à une certaine période de f(x), par suite (316) à quelque somme de mulliples entiers des périodes élémentaires de cette fonction.

IV. Les polynomes W', W(1:0) ne pouvant avoir aucun diviseur commun, puisque le degré du second est inférieur à celui de l’autre et que celui-c1 est premier, la résolution par rapport à w/, w du système formé par les équations entières (16) et

ne peut fournir qu’un nombre limité de couples de solutions communes. En appelant donc w, une valeur particulière de w n'appartenant à aucun de ces couples, n'étant égale en outre à aucune des valeurs cardinales de f(x) [nous parlons comme au n° 304, IV, des valeurs en nombre Z m', que donnent à cette fonction les zéros de f'(æ)], les racines incongrues de l'équation numérique

qui ne peut en avoir de multiples, sont en nombre m et donnent à f(x) m valeurs toutes inégales (IT). On en conclut que pour les foncuons f(x), f(x), le diviseur d du n° 331, I, se réduit à 1,

MOD 7, mm, — m.

V. Dans l'équation (16) ordonnée par rapport à u’, le coe fiicent de use réduit à une constante (non = 0). Car si un polynome en w, de degré effectif >> o, servait de coefficient au terme de degré maximum en w/, il s’'annulerait pour quelque valeur b attribuée à w, et parmi les racines de l’équation f(æ)= b, 1l y en aurait une au moins qui rendrait f(x) infinie; or c’est impossible puisque f(x), f(x) sont toujours en même temps olotropes ou non (165*), (213*).

L'équation (16) prend donc la forme (15) après la division de tous ses termes par ce coefficient constant de w/",

VI: On prouve de la même manière que le coefficient de w”’ dans l’équation (15) ordonnée par rapport à w se réduit encore à M. — IT. 24

une constante (non — 0). Il en résulte que le degré effecuf de

Ph(u)est — m/', que ceux de P 1, Py 23. +, PSone

VIT. Comme toute fonction implicite de w, fournie par la résolution de l’équation Q

satisfait à l'équation différentielle dx\" dx\m-1 CVS Fe (18) Pu(T) + Ps (&) ++ Pi(92) ra LEENCS

les dérivées

a RE du du du

de m fonctions de cette espèce, incongrues suivant les périodes élémentaires, sont évidemment les racines de l’équation (18)

; Far à \ résolue par rapport à —- On a donc identiquement Œi

lu pe dx: do Em d ET ET ES | du FIRE du Pr é m),

d'où P»1 —0, puisque la somme æ, + x, +...—+xx est indépéndante de u (324).

[ On remarquera que la nature spéciale des équations différentielles dont l'intégration nous a fourni les fonctions du second ordre E(x}), E.(x) au Chapitre VIIL, est conforme au dispositif de ce théorème.

334. Le rapport de deux fonctions bipériodiques méromorphes douées des mêmes périodes, F(x), f(x), se réduit à une constante, si, dans une même maille, elles ont les mêmes séros et les mêmes infinis, tous aux mêmes degrés de multiplicité.

Car ce rapport est une fonction de même nature, qui, dans celte maille, ne possède évidemment aucun zéro ou infini, et dont par suite l’ordre s’abaisse à o (327).

Si K désigne la valeur constante de ce rapport, l'équation entière irréductible entre F, f (331) est