SUITE DES DEUX PRÉCÉDENTS

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS SIMPLES OU DE FONCTIONS CIRCULAIRES, ET EN SÉRIES FACTORIELLES.

Origine et propriétés générales des fonctions =;(x). O(x).

337. Les questions résolues pour les fonctions unipériodiques polarisées, dans les derniers paragraphes du Chapitre VII, se traitent pour les fonctions bipériodiques par des moyens tout semblables.

Une série quadruplement infinie est l’ensemble des valeurs en nombre illimité,

ns lalnl ele ete = 0e (y 'als ss -» sn olale tr vins trs e vx

de quelque variante w» n à deux indices m, n, qui est définie pour toutes leurs valeurs positives, nulles ou négatives.

Nous dirons contigus deux termes quelconques où, les valeurs d’un même indice étant égales, celles de l’autre diffèrent d’une unité seulement, et continu tout amas de termes tellement composé qu'avec deux quelconques d’entre eux il en contient forcément d’autres pouvant être écrits entre ceux-ci de manière que deux consécutifs quelconques soient toujours contigus. Nous représenterons en outre par Sz la somme des termes de tout amas contenant ceux au moins où les valeurs numériques de mn, n ne surpassent pas l’entier positif X.

Cela posé, si Sx tend vers une limite pour # infini, sous la seule condition que l’amas sommé reste toujours continu, la série est

convergente. On aperçoit immédiatement alors que la valeur de la limite est indépendante de la composition variable de l’amas conunu considéré, et on la nomme (au figuré) la somme de la série. Le reste de la même série bornée à l’amas qui a fourni une valeur de la variante Sz, est S — Sz, excès sur Szx de la somme S de la série, c’est-à-dire la somme de la série encore convergente obtenue en substituant zéro dans la proposée à tous les termes pris pour former S4; il tend naturellement vers zéro, quand Æ augmente indéfiniment.

La série est divergente dans le cas contraire, c’est-à-dire s’il est possible de former des amas continus de cette sorte, pour lesquels Sz n’ait point de limite. Une pareille série n’a point de véritable somme; néanmoins on peut souvent, par telle ou telle composition convenable de l’amas continu considéré, faire acquérir à Sx telle ou telle limite intéressante à étudier, ce que nous verrons bientôt. Une pareille limite dépend, dans sa valeur comme dans son existence même, de la loi qui a présidé à la formation progressive de l’amas correspondant; à bien des égards, on peut la regarder

comme une somme fictive de la série, relative à la sommation -

spéciale qui l’a fournie.

338. Quand les modules de ses termes sont eux-mêmes en série convergente, la série (1) jouit de propriétés fort précieuses et de tout point identiques à celles que nous connaissons depuis longtemps dans le même cas aux séries ordinaires (ou simplement infinies). On prouvera notamment sans difficulté :

1° Qu'elle est convergente aussi;

2° Quelle conserve cette propriétéquand on y substitue zéro à tels termes qu’on voudra, c’est-à-dire que toute série paruelle formée avec des termes non répétés est également convergente;

3° Que la variante Sy tend toujours vers la somme de la série, quand bien même l’amas correspondant serait discontinu, ou bien, si l’on préfère parler ainsi, que le déplacement et le groupement des termes ne peuvent jamais nt détruire la con-

vergence de la série, ni modifier sa somme; Etc.