CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPHES

À cet égard, la formule (7) donne

f'(æ) — — Mf(r)+(r—u)fi(x)

(æ AA JUat1 É

OÙ, en æ—04, le numérateur du second membre est olotrope, avec la valeur — Hf1(a) essentiellement différente de zéro. Pour f(x), le degré de multiplicité de l'infini &, a donc bien augmenté de 1 (33).

Il s'ensuit immédiatement que, pour f® (x), les degrés de multiplicité des infinis sont tous augmentés de l’ordre méme k de cette dérivée.

Pour la même raison, #,, par exemple, est un infint de degré di —1 seulement pour f(x) dx, si toutefois cette intégrale est méromorphe en «;, ce qui est loin d’avoir lieu toujours

(A, enf.).

317. Pour des valeurs de x suffisamment voisines de l'infini quelconque a; de degré x, la fonction méromorphe f(x) est développable, et cela d’une seule manière, en une série procédant suivant les puissances de x — «, à exposants entiers, et croissant algébriquement à partir d’un terme en (X — ay) dont le coefficient n’est pas nul.

D'après la relation (3) on a J(æ)= (x — a) Mfi(æ), où f,(æ) est olotrope et non nulle en x — «,, et à cause de ceci PR) AS + AUD (a — 01) +... + AU Cm — os) + AÏ (m — as).

où Àÿ non —0o; on a donc, aussi longtemps du moins que cette série entière est convergente

(1) A (D | Al) | Ab, (T — a) (TX — 3 }i—t T— 4:

+ Al + Alim) +...:

cest précisément le développement annoncé. Il est d’ailleurs unique, comme celui de f,(x), d’où nous l’avons tiré.

On notera la formule évidente

RAGE SMS TT io YA > , (10) Âk Sirace dx* [Cæ a )mf(x)] En TA

Sa:

38. Nous avons eu déjà à rappeler (280*) qu'on nomme semple toute fraction rationnelle d’une seule variable, ayant pour numérateur une constante, pour dénominateur une puissance (entière) d’un binôme du premier degré où l’on peut évidemment supposer égal à 1 le coefficient de la variable (sauf à modifier la constante du numérateur).

D'après cela et la relation (9), la fonction méromorphe f(x) est décomposable en une somme ie fractions simples de dénominateurs (æ — a), (æ —a)M"t, ..., (x —), dont la pre mière a un numérateur non — 0, et d’une fonction f,(x), olo= trope en v,, mais méromorphe dans Paire S avec tous les infinis de f(x), sauf a, aux mêmes degrés de multiplicité.

La différence |

AUD Aÿ— (11) | d— 15 HSENIERE

est méromorphe dans l’aire S (30, IT) et ne peut évidemment y avoir d’autres infinis que &,, commun à ses deux parties, avec @, a, -.., 27 autres infinis de f(x). Mais elle est olotrope en ,, puisque, d’après la relation (9) et pour des valeurs de x suffisamment voisines de «,, elle est représentable par la série entière

AM ODNE

Quant à l'infini &, par exemple, elle l’admet au degré de mult:plicité w, parce que p est évidemment la plus faible valeur de l’exposant 1: qui puisse rendre le produit (æ — >») Jef. (æ) olotrope et non nul en æ — 42 (33).

La fonction f,(x) jouit donc des propriétés as et la relation (0), écrile Al AN

TES 2 + GX

(ZX — 3 )Pa DA

(12) Her

opère précisément la décomposition dont il s’agit.