CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉROMORPIIES

39. La fonction méromorphe f(x) est décomposable en la somme des groupes de fractions simples correspondant à ses divers tnfinis et d’une fonction f;(x) qui est olotrope dans toute l’aire S.

En recommençant la décomposition précédente sur f.(æ) puis sur les autres fonctions complémentaires AC ANI A0 7) NPR qui s'introduisent successivement, il vient

A fan Ne pue) (Æ — 4 )P2 LT — Er), (13) co te SAR AE 0) ons NO SNS PA EE PORTES AT) A 0 l Hyei -

où 1162 est une fonction méromorphe n'ayant d’autres infinis dans l'aire S que a,1, di4e, ..., 4, où en particulier f,(æ) y est olotrope puisqu'elle n’y en à plus aucun. En ajoutant membre à membre, 1l reste, après simplification, la décomposition annoncée

A (1) a Al (T— a) T— a] (14) DE) — RUE RU à NA EE AACAE Non.

Ca) UT | æ—ay;

où, les numérateurs des fractions simples seront fournis par des formules telles que C0):

40. Sif,(x) représente une fonction quelconque de x, olotrope dans l'aire S, le second membre de la relation précédente (14) fournit un autre type général des fonctions qui sont méromorphes dans cette aire, avec les infinis (4) aux degrés de multiplicité (6).

Pour qu'une expression de cette nature soit nulle identtiquement, il faut et évidemment il suffit que l’on ait

(1) M) y] AU)= AG = = AT. = AN ,=0,

avec f,(æ)—= 0 identiquement. Car si, par exemple, on n'avait

pas Aÿ — 0, le produit (x — a, )f{(x) se réduirait à A!!'' et non

à o pour + — 0, ; et de même successivement, pour les numérateurs

des autres fractions simples. Ces conditions réduisant f(x) à M. — II. 3

f,(x), il faut bien aussi que cette dernière fonction soit nulle identiquement.

Il s'ensuit que Le résultat de la décomposition de f(x) par la formule (14) est unique. Car la différence de deux semblables résultats reprend, après réductions, la forme du second membre de la formule en question, et il doit être identiquement nul. De partet d'autre, les fonctions simples doivent donc être identiques, ainsi que les termes complémentaires olotropes.

A1. Pour que f f(x)dx soit aussi méromorphe dans l’aire S supposée imperforée, f(x) désignant toujours le premier membre de la relation (14), il est nécessaire et suffisant que l'on ait

ALU PA CO) AR 2 SCANNER (15) Abu Api=t.. = Ay 0:

Le résultat de la différentiation du second membre de la relation (14) est évidemment une expression de même forme, et, par suite (40), il est celui de la décomposition de f’(æ) en des groupes de fractions simples accompagnés d’une partie olotrope. Comme cette différentiation augmente de 1 les degrés de tous les dénominateurs des fractions simples, la décomposition de f'(x) ne peut donner aucune fraction simple ayant un dénominateur du premier degré. Pour que f(æ) soit la dérivée de quelque fonction méromorphe, il faut donc aussi que sa décomposition ne donne aucune fraction simple de cette espèce, c’est-à-dire que les égalités (15) aient lieu.

Ces conditions sont d’ailleurs suffisantes ; car, si elles sont satisfaites, l'intégration par décomposition du second membre de la

relation (14) donne (215*, I, IV)

A1) " Afl 9 LUE 1 ire ui (T— a) VU —1 z—u (16) S f(æ)dx = Enr le le ne nie s elleiels o eteuauets alutelohers % Ou 0 0 + Sf,(&)dx, AM { s& Auy-2 I

c’est-à-dire une fonction qui est méromorphe dans l’aire S, parce que celle-ci est imperforée, et qu'ainsi Sf,(æ) dx y est olotrope