CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

‘partir de laquelle le dénominateur de son second membre se main-

tient positif; F(m, n) alors ne peut plus s’évanouir comme nous l'avons annoncé.

Groupons maintenant les modules de ceux des termes de notre série, où Æ est précisément la plus grande valeur numérique des indices », nr. Leur nombre étant 8#, ils finissent, d’après ce qui précède, par former une somme inférieure à

: 8ak(2k +1) OAA B(2k +11

terme d'indice Æ dans une série ordinaire qui est convergente (273), puisque À —(X +1), excès du degré du dénominateur sur celui du numérateur, est au moins égal à 2, à cause de À — 73. Ces sommes forment donc à plus forle raison une série convergente, ce qu'il nous suffisait d'établir d’après l'observation finale du numéro précédent.

Quand l'inégalité (3) n’a pas lieu, on prouve facilement que la série est divergente.

340. Les considérations précédentes sont applicables aux séries P AP P uadruplement infinies dans lesquelles, x désignant une variable q q ) 5 indépendante, on a

U = (4) He (x — mIiE=rAû) :

inverse de la puissance d’exposant ? (entier positif) du terme général d’une progression arithmétique aux deux raisons IT, Q, de moment non nul (309); effectivement u»,n est ainsi une fraction rationnelle en m, n, où (ml + nQ), ensemble des termes de

degré maximum dans le dénominateur, ne peut s’évanouir pour

d’autres valeurs réelles de m, n que (0,0), à cause de l'hypothèse faite sur II, Q. Ce sont les propriétés de ces séries que nous allons

approfondir.

Pour iZ3, la somme d’une pareille série, qui alors est toujours convergente avec celle des modules de ses termes (339), est une fonction indéfiniment méromorphe de x, qu'on peut différentier et intégrer sur un chemin quelconque, en traitant

séparément de la même manière tous les termes de la série. Pour i = 2, la somme variable

GE, Der

des termes d’un amas continu (33T) tend vers une limite joutssant des mêmes propriétés, à condition toutefois que la méme somme construite pour x — 0, savoir

2) D en

tende vers une limite.

Pour i—1, et pour la somme variable

(7) Dm

méme chose a lieu encore, sous la condition précédente accompagnée de celle que la somme de composition semblable

8 > (8) x(ml+nQ) ait aussi une limite.

[Nous supposons naturellement chacune des sommes (6), (8) débarrassée de son terme impossible où m = nr = o.|

Pour démontrer ce théorème, on raisonnera exactement comme nous l’avons fait au n° 277 dans une circonstance analogue, en s'appuyant sur celui du n° 339, sur le fait particulier établi dans l'alinéa I de la démonstration de ce dernier, puis, pour ce qui concerne les cas où 1 — 2,1 —1, sur les formules

(9) D I PU D I +Y ABTL?

9 k(æ—8) Mr? k 8? £82(x—8)2?

I I I I I 10 = — ES Er zY La a ARR à (109 > T md}; 5 x 82 s82(æ — 8)

fournies par une décomposition évidente de tous les termes où 8— ml + nQ n’est pas nul.