I. Les mêmes choses étant posées qu'aux n° 2TÀ et 275, on a

Un DA, oi I I I — ++ += — — — + ce u? u? u2 RUES: U À avec (12) mod €3 € 0-3 G°

s: désignant ici la somme des cubes inverses des modules des termes du tronçôn de progression arithmétique considéré.

On raisonnera exactement comme au n° 279, mais en partant de la relation

vi # 2 ; ; 9 u;j+ h Uj u? u? \ Uj u?.

. À x : ‘ h Car

également applicable à partir du moment où mod se maintient é

au-dessous de 0 1.

IT. 1° Pour faciliter la conception des choses, nous tracerons deux axes rectangulaires sur un tableau plan, et nous nommerons Jalon d’un terme quelconque u»,» d’une série quadruplement infinie le point de ce tableau ayant m, n pour abscisse et ordonnée.

Appelant ensuite M, < M, deux entiers de signes quelconques, N,, N: deux autres entiers de même signe, donnant numériquement N;N:, nous construirons sur le tableau Île rectangle [M,, M, N,, N;] dont deux côtés opposés sont empruntés aux droites m—M,, m—M;, les deux autres aux droites na = N,, n = N;, et nous évaluerons d’abord la somme Sy m,n,x, de tous les termes de l'expression (6) tombant (c’est-à-dire leurs jalons) sur le périmètre ou à l’intérieur de ce rectangle; ces termes sont ceux où mn est compris entre M, et M, inclusivement, n entre N,et N:. Nous supposerons ensuite N;, N: positifs pour fixer les idées, et aussi N, assez grand pour que, dans les termes considérés, les rapports de modif et de modQ à mod(mIl + 7Q) soient toujours inférieurs à une quantité positive donnée 0 1 (339, 1).

Les termes de notre somme où nr a une même valeur sont les carrés inverses des termes d’une progression arithmétique de raison — IT, ayant pour extrêmes M,II + 7Q, M,II + nQ; la formule (11) donne donc pour leur somme

I T I ART SNS

Il faut faire ensuite nr —N,, N,-E7r, 400 puis sommer de nouveau; la formule (5) du n° 275 donne alors

S MUR (y (Mi—1)I+(N+1)Q 5 M; T+(N:+1)Q } SUR RME (M: CTEENE MU+NQ || (13) à PRETAR 2 s(Mi—1) __ (M) (2).

Len Las T'en n=N,

On remarquera que la dernière partie de cette expression est la somme des termes tombant dans notre rectangle, d’une série quadruplement infinie qui est convergente elle-même et celle formée par les modules de ses termes. L’inégalité (12) montre effectivement que les modules des termes élémentaires de et sont inférieurs aux quantités positives

mod(— TI) Poe L 4 1 — 0 (mil + nQ):

formant elles-mêmes une série de ce genre (339). L'inégalité (6) du n° 275 montre que les termes de l’avant-

L2 Lt L . 14 L ’ I dernière partie, si l’on y néglige le facteur commun — g> ont des

modules inférieurs aux quantités

REA D Tor (nr = Ni, Ni, ..., No).

S1 donc M;, N, restent fixes, et si N, augmente indéfiniment, cette avant-dernière partie a une limite (273). Si M, ou N,, ou tous deux sont infinis, elle est infiniment petite; ceci résulte de ce que nous avons vu aux n° 274 et suivants.

Et de même pour l’antépénultième parue, où M, — 1, N,, N: jouent les mêmes rôles que M;, N,, N:, dans l’avant-dernière.

2° Appelons maintenant M, N deux entiers positifs infinis, puis