CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

[M, N] le rectangle variable dont deux côtés opposés ont pour équations m— + M et les deux autres nr — + N. Appelons en outre [M,, N,]un rectangle de ce genre, mais invariable, en dehors duquel le module de mII + nQ soit toujours supérieur à modII et à modQ.

Si l’on décompose le rectangle [M, N] en sept autres, savoir : 1° le rectangle [M,, N,], 2° celui dont les côtés opposés ont pour équations m—+M, n —N, ou N, 5° celui dont les côtés sont caractérisés par m — — M ou — M,, na —0o ou N,, 4° le symétrique de celui-e1 par rapport à l’axe des n, puis enfin les symétriques des trois précédents par rapport à l’origine des m, n, la formule (13), appliquée successivement à chacun des six rectangles variables, donnera facilement, pour la somme Syx des termes de l'expression (6) non extérieurs au rectangle [M, N|,

2 E MINQ

San pe 2[ mn Nolan

où Yyn est une certaine variante ayant une limite déterminée, de quelque manière que M, N augmentent indéfiniment.

‘Ainsi donc, on créera une limite pour l'expression (6), en la composant des termes non extérieurs au rectangle [M, N|,

ER MARNE et en assujettissant l’un ou l’autre des rapports X> y 4 tendre

vers une limite déterminée.

30 En choisissant convenablement la limite de l’un ou l’autre des rapports ci-dessus, et en ajoutant aux termes contenus dans le rectangle [M, N] ceux que renferment certains polygones additionnels contigus à ce rectangle et formant avec lui un ensemble symétrique aussi par rapport à l’origine des m, n, on peut faire acquérir à l'expression (6) telle limite qu'on voudra.

Nous supprimons, pour abréger, cette partie de la démonstration dont les conséquences ne nous sont pas indispensables.

III. Les jalons non extérieurs au polygone défini ci-dessus (IE, 3°) ayant deux à deux des coordonnées égales et de signes contraires, la somme (8), quand on la compose de termes ayant ces

mêmes jalons, s’évanouit sans cesse et par suite a zéro pour limite.

Mais si, appelant M'la plus grande valeur de m dans ceux de ces termes où m>0,n—0o, puis M’ un autre entier infini donnant au

rapport jp une limite p non nulle, on introduit dans cette somme

les termes contigus

I I I (M'+i)ll su (M'+ 2)II FAT NTENE

quand p > 1, ou bien si l’on ÿ supprime les termes

1 I I EVENT AE re