CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

IT Ë IV. Pour p—1, g—0 et x ——, valeur qui n’est pas un

infini de &,(x) (343, IL), la relation (17) donne (343, II)

D AIN OR an se ee)

et l’on obtient de même la seconde des formules (19).

V. À cause de la propriété exprimée par l'équation (17), nous dirons que Il, Q sont de fausses périodes pour Æ,(x), et nous appellerons Ar, Aa les augments correspondants de cette fonction.

VI. La distribution des infinis de Æ,(x) (343, I1) montre immédiatement que les seules périodes possibles de cette foncuon sont de la forme pIl + gQ (p, q non tous deux — 0); et, en vertu de la relation (15), p, H + g, Q est effectivement une période

si, par hasard, P1An+g1A0o=0,

ce qui est réalisable, par exemple, quand Ar —o, en prenant qi = 0 et p, à volonté (Cf. 359,-inf.).

Mais si p21l + g2:Q était une seconde période, on aurait en outre

P1 gi

P2Ân+ 92ÂA0 = 0; d’où | 2Ât a in

parce que, d’après l’égalité (18), on ne peut avoir Ar — Ao = 0.

On pourrait donc trouver quatre entiers p, q, 1, me donnant D Qi Liqr Do — Mop, 92 —IUad moyennant quoi ces deux périodes seraient certainement composées de la période unique pl + q ©.

345. Pour 1292, la fonction Ex) est bipériodique aux périodes élémentaires I, Q. ;

Car la différentiation de la relation (19) combinée avec (16) donne alors l'identité caractéristique

(T + pl TE qgQ) = Æ;(æ).

Ces périodes II, Q sont d’ailleurs élémentaires, à cause de

la distribution spéciale des infinis communs de ces fonctions (343, IT).

On pourrait encore employer le raisonnement direct du n° 344, appuyé sur le théorème du n° 274.

346. St a, B,..., À désignent des constantes quelconques, mais incongrues selon le couple (II, Q), toute fonction linéaire de quelques fonctions

(23) E(T—a), E(xz—6), ….) =(x — À),

dont celles d’indice 1 sont d’une même provenance quelconque, est une fonction bipériodique de x admettant les périodes 1, 9, pourvu toutefois que, dans cette expression linéaire, la somme des coefficients des fonctions À d’indice 1 se réduise à zéro.

Soient À, B,..., Lces coefficients de E, (x — x), E,(x —f), ..., E,(x— À). Comme les fonctions Æ d'indices > 1 admettent les périodes IT, Q (345), l'addition à x de pII + gQ augmente simplement l'expression linéaire considérée de

(A+B+...+ L)(pAn+gAao);

c’est-à-dire de zéro en vertu de l’hypothèse (344).

Cette fonction a pour infinis évidents les quantités &, B, ..., À; leurs degrés de multiplicité sont les plus grands indices des fonctions Æ où l’on a substitué (x — x), (x — $), ..., (x — À), et les coefficients de l'expression linéaire sont précisément les numérateurs des fractions simples provenant de la décomposition de la fonction bipériodique ainsi engendrée.

347. Réciproquement, toute fonction bipériodique indéfiniment méromorphe f(x), aux périodes I, Q, s'exprime linéairement au moyen de fonctions analogues à (23) et à indices convenablement choisis.

Soient ...,@;, ... les infinis de f(x) tombant dans une même maille de son réseau élémentaire, et À, ;, A: ;, . . Ales

numérateurs des fractions simples en (x — aj)=1, (x — aj) ?, ..., (æ —a;) t, ... provenant de la décomposition de f(x) relative-