CHAPITRE X. — DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

ment à «;. Le résultat de la sommation SA; j=i(T — a;)

étendue à toutes les combinaisons de valeurs de #, 7, qu'il y a lieu de considérer pour f(x), est indéfiniment méromorphe et admet les périodes IT, Q, parce que la somme des coefficients de ..., Hifr. «;), ... sy réduit au résidu intégral de f(x) dans la maille en question, c’est-à-dire à zéro (328), (346). De plus, cette fonction ne diffère de f(x) que d’une constante, parce que la décomposition des deux fonctions dans une même maille donne

les mêmes fractions simples (343, Il), (336). Donc, etc.

348. Appelons Æ;(x) une détermination quelconque de Æ;(x), construite sur les périodes (vraies ou fausses)

TM=al+$8Q, 'Q—7yI + 00,

a, B, y, à désignant des multiplicateurs entiers satisfaisant à la condition

Posons en outre

L ! ' N (25) "x À An — À; — BA.) = 6 ( AS — Y Ar — 0AS)— À,

où 'Aryr, Aa représentent les augments de 'Æi(x). On a les

relations (26) LE (T)— = (r) = A7:

(27) (Tr) — (2) = A,

HAPpour 13, (28) E(x) — E;(r) —0.

Cette dernière identité est évidente; car, pour i23,Æ&;(æx)est la somme d’une série quadruplement infinie dont les modules des termes sont en série convergente, et qui peut être sommée d’une manière quelconque sans altération de résultat. Or, le changement

du mode de sommation, accompagné de celui des périodes, n’est au fond qu’un simple changement dans le mode de la sommation; car, à cause de la condition (24), l’ensemble des valeurs de m'I + n'Q coïncide exactement avec celui des valeurs de nH+nQ.

Maintenant, comme à quelque facteur numérique près (343, L) le premier membre de (28), pour # — 3, est la dérivée première de celui de (25), seconde-de celui de (26), ceux de (26) et (25) sont des formes linéaires Ax + € et — À, où À, € sont des constantes qu'il nous reste à calculer.

La seconde est nulle, parce que, si l’on pose x = o dans le pre-

. \ . Pol mier membre de (26), après avoir retranché : de chacun de ses termes, il reste o — o — 0 (345, IV).

Enfin, et en vertu du théorème du n° 344, le premier membre de (26) augmente de /Ar—(xAr+ $AQ) quand æ augmente de I = all + $Q, et le second de A'IT; d’où pour A, la première valeur assignée par la formule (25). La seconde valeur s'obtient de la même manière en faisant croître x de 'Q = yII + 0Q. Leur égalité serait encore assurée par la combinaison des relations (18), (24).

349. Comme toutes les déterminations de la fonction &, sont celles de l’expression (14) pour C/= 0 et pour une valeur quelconque attribuée à l’autre constante C, l’expression

(29) = (æ)+ Ar

est réciproquement une certaine détermination de la fonction Æ,, quelle que soit la constante A.

On notera qu'il existe toujours une fonction Æ,, mais une seule, ayant une quantité quelconque donnée pour augment de nom donné.

Pour que le premier augment par exemple de la fonction (29) soit égal à %yr par exemple, il faut effectivement et :l suffit que l’on ait

An+An= %r d’où

Mais l’autre augment n’est plus arbitraire, car il est lié au premier par la relation (18).

CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES. 391 350. En appelant M un entier positif, puis VE, (x) la fonction &, construite sur les fausses périodes ;;, Q, avec un pre-

mier augment égal à Ar (349) et un ne égal par suite à MAo [à cause Le la relation (18)|, on a l'identité

[eme x)+ =r+ag)+e

(30) +, Le OM) “| (IE; (x) = O,

C désignant une constante, nulle pour 1>> 1, mais égale à

P=(M—1) Ên = (M1) (28 5++) pour 1—=1.

La différence dont il s’agit, qui est indéfiniment méromorphe,