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15) O6. 0) 0(—t) (CT 280) 394. Sotent (36) Mis Ta RARE (37) A1) Has ...…;, My
deux groupes d’entiers positifs satisfaisant à la condition
(38) (Mi Mo +... + Me)—(Wi+ ba EF. Puy) 20; et
(39) di, Go; » Ag,
(40) A1»: La TER AN
deux groupes correspondants de quantités quelconques, mais toutes incongrues selon le couple (II, Q), et satisfaisant à cette autre condition
(41) (mai + Mado +. + Meg) — (pu +... + hyay) = pH +gQ,
p, q désignant deux entiers quelconques (positifs ou négatifs). Posons enfin
An(pH#g9)+qg.ant A,(pll+qg0}Æp.ame = ——
quantités égales en vertu de la relation (18).
CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES. 399 L'expression
[O(x— a) |"4[O(x — @2) |" 21 [O(x— ag)|"s
3 — ex A jo) [O(æ— 1m [Or — ay)
est une fonction indéfiniment méromorphe de x, aux périodes Il, @, ayant pour zéros aux degrés de multiplicité (36) respectivement les quantités (39), et pour infinis aux degrés de multiplicité (37) les quantités (40).
Chaque terme de cette fraction étant indéfiniment olotrope comme O(zx) (351), et l’exponentielle l’étant aussi, la fonction P(x) est indéfiniment méromorphe.
Maintenant, si l’on change x en x +Il (352, IV), le second membre de notre formule est multiplié par — 1 élevé à une puissance d’exposant (m1 +...+ My) — (ui +...+uy) et par une exponentielle d’exposant
IT AU HAT I[(7u+...+ mg) (bite. + #1 + 5)
—[(mud +... + Meag)—(Hu+...+ ty%y)] ,
c'est-à-dire par 1Xx<e72?Ti— 1 à cause des conditions (38), (41), (42): Notre expression a donc II pour période, et de même Q.
Finalement, comme O(x) n'admet pour zéros, tous simples, que les quantités mIT + n0Q (352, IT), la même expression a bien pour zéros et infinis, aux degrés de multiplicité spécifiés, les quantités (39) et (40) (avec toutes les valeurs de x qui leur sont congrues ).
385. Réciproquement, si l’on représente par les notations (39), (40), (36), (37) les zéros et infinis incongrus de la fonction méromorphe F(x) aux périodes I, Q, ainsi que leurs degrés de multiplicité, et par À un coefficient convenablement choisit, on aura
(44) F(æ) = Kb(x), K désignant une certaine constante.
D'une part (321) les entiers (36) (37) remplissent la condition (38); d’autre part (325) les quantités (39), (40) satisfont à
la condition (41), sauf à choisir convenablement les entiers Pr 03 Si donc on prend pour À la valeur donnée par la formule (42), l'expression (43) sera, d’après le théorème précédent, une fonction méromorphe DAS et aura en commun avec F(x) ses périodes IT, Q, ses zéros et infinis aux mêmes degrés de multipli-
stante (334), d’où la formule (44).
Dans chaque cas particulier, la valeur de K se déduit d’une
se réduil donc nécessairement à une con-
cité. Le rapport
hypothèse numérique simple faite sur x. On pourrait remplacer
O(x— a), ..., O(x—u), par Or, an) 0e), ..., O0(æ,a) OO ONEE
306. La formule suivante permet quelquefois de simplifier l'expression (43).
En appelant "O(x), la fonction O engendrée par l’intégration de la fonction VE, (x) définie au n° 330, on a l'identité
O(x)O(x+—)...0 UM TV à M = = Helz, nO(æ)
où H est une certaine constante.
Pour y arriver, il suffit d'écrire l'identité (30) pour é—1, de Tr, 1e ù l'intégrer au moyen de la relation (32), puis de passer des logarithmes aux nombres.
En faisant x — 0 dans cette relation, après avoir divisé par æ les deux termes de son premier membre, il vient (359, I)
Il Il R H=0()0(2). of) “|:
307. La formule (44) fournit, pour la fonction bipériodique quelconque F(x), une expression composée avec la seule fonction simple O(x) [ou O(x, 0)]; pour les calculs numériques, elle est donc bien préférable à celle du n° 347, qui contient les fonctions différentes &;,Æ, ..., et qui n’est pas comme celle-ci calculable par logarithmes. On conçoit qu’une Table des valeurs d’une fonc-
Le.
