II. Les produits

I) y, 2, A3, +.) Aide, 13, alla ..., Ads, .

ayant précisément pour modules les produits semblables (59), les conclusions de l'alinéa précédent leur sont textuellement applicables. Or on peut évidemment les écrire dans un ordre de succession, et assigner un entier N, infini avec n, tous deux tels que la

somme des N, premiers termes de la série convergente qu'ils forment ainsi soit précisément le développement de P, produit des r premiers facteurs de la série factorielle (58). Cette dernière est donc convergente, puisque P, a pour limite la somme de la série ordinaire dont nous venons de parler.

371. Sous la même hypothèse, la série factorielle (62) (I+murv)(i+art)...(1+ ant)...

converge pour toute valeur de x, et a pour produit une fonction indéfiniment olotrope de cette variable.

Car, en appelant £ un module quelconque attribué à æ, la convergence de la série (60) entraîne toujours celle de la série corres-

pondante a Ë + EH as +...

en outre, l'application des considérations de l’alinéa IT du numéro ci-dessus aux quantités

LL dy CMOS CNET ONE ITE UT, ll L*,, loi 0?, OUT OS DNS

permet de mettre immédiatement le produit de la série factorielle (62) sous forme d’une série entière en x dont la convergence est 1lhmitée.

On remarquera que (si a, 0) cette fonction indéfiniment olotrope a les quantités

Ta pente EN ennnlinent 1 000 0 be NT

& (22) An

pour zéros tous simples, et qu’elle n’en peut avoir d’autres (369).

3172. Nous avons encore quelques mots à dire sur les séries doublement infinies de la forme

(63) ...+a nt +... + a ir l+ Go+ MT +... + Am.

c’est-à-dire procédant suivant les puissances à exposants entiers d’une seule variable æ, croissant (algébriquement) de gauche à droite, décroissant de droite à gauche.