CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

I. Une pareille série pouvant être considérée comme provenant de la réunion de deux séries entières par rapport, l’une à +, Pautre

nI .

à —, la condition de sa convergence pour quelque valeur de x

est l'existence de deux quantités positives S <R telles, que le module du terme général soit fini pour modx = R quand son indice est infini positif, et aussi pour modx —5S quand cet

indice est infini négatif (272), (114*).

II. Quand de pareilles quantités existent, les modules mêmes des termes de la série forment une sérte convergente pour S < modæ < R, c’est-à-dire pour toute valeur de x intérieure à la couronne de convergence [S, R] comprise entre les circonférences décrites de l'origine O4 pour centre avec S, R pour rayons (loc. cit.).

III. Dans la couronne de convergence [S,R], la somme de la série (63) est une fonction olotrope de x.

Les séries entières

E(T)= Got MT+.. + AmT+...,

dx) AR INRA TR EE

ayant évidemment les cercles de convergence [O,, R |, [OL à | décrits des origines Oz, O> pour centres, avec R, s pour rayons, y sont respectivement olotropes (140*); la fonction composée y(z)=" (>) est donc olotrope à l'extérieur du cercle [Oz, S] décrit de O; pour centre avec S pour rayon, parce que la fonction simple = y jouit de cette propriété, et qu’elle n'y prend que des valeurs intérieures au cercle 0, | (153*), (248*). La somme

o(x)+ d(æ) de la série (63) est donc olotrope dans l’espace à la fois intérieur à [O, R] et extérieur à [Oz, S], c’est-à-dire dans la couronne [S,R|.

Comme à l’intérieur de la même couronne, la série (65) ne cesse pas d’être convergente quand on réduit ses termes à leurs modules (IL), on y peut différentier ou intégrer sa somme terme à terme (275* bis).

IV. Pour que la somme f(x) de la série (63) soit nulle idenliquement dans la couronne précitée, il suffit évidemment et il faut aussi que tous ses coefficients soient nuls.

1° Pour toutes valeurs de x non extérieures à une couronne comprise entre les circonférences de centre commun O, et de

rayons S/, R’ donnant ST SLR ES

où les lettres S, R conservent la signification qu ‘elles avaient dans l'alinéa IT, on peut assigner des limites supérieures My», N nindé- LEUR de + et tendant vers o pour m, — n infinis, aux sommes des deux séries (simplement infinies) formées par les modules des termes de (63) dont les indices surpassent A ou sont inférieurs à — ñn,et aux modules mêmes des sommes des deux séries formées par les termes dont il s’agit (11T*).

2° En s’appuyant sur cette observation, et en raisonnant comme au n° 130*, on prouvera sans difficulté que, parmi les valeurs de x ayant un même module 7 compris entre S et R, il en existe nécessarement quelqu'une rendant

mod f(t)zare,

module correspondant d’un terme quelconque de la série (63). Si donc on a toujours f(x)—0, on aura certainement &y — 0 pour toute valeur positive, nulle ou négative de l’indice g

V. Pour que deux séries de cette forme aient des sommes identiquement égales, il est suffisant et nécessaire que les coefficients de deux termes semblables y soient indéfiniment égaux

(Cf. 137*).

VI. Pour toutes valeurs de x intérieures à une couronne de convergence commune à plusieurs séries de la forme (63), on peut, comme st elles étaient de simples polynômes entiers en x etæ”!, développer en une nouvelle série de même forme, admettant la même couronne de convergence, toute expression en-

tière formée avec leurs sommes (Cf. 116*, VIT).