LE SUE EE MES

parce que l'égalité mod g <1 entraine la convergence de la série modgæ+modg?+..., puis (370) celle des trois séries factorielles entre crochets, ceci pour toute valeur de y 7 0. Comme les deux dernières sont développables en deux séries entières, l’une en y, l’autre en y”! (371), le produit ÜDO(x) est développable en une série de la forme (65) par rapport à y (372, VD.

Nous allons en calculer les coefficients.

Il. Le développement de l'expression

fn (3) — (1 —— gant) (te quets"t) 4 NET + q 27%)

(oi) x(i+z)(i+gz)({i+g?z)... (+ gta),

où À est un entier positif, où 3 représente une variable indépen-

414 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D’UNE SEULE VARIABLE. dante, est une somme de monômes en 3 à exposants positifs et négalifs compris entre — 7 et + nr inclusivement, et en posanL

(69) fn(3)= M n3 +... Hess +...+n3r,

les coefficients à sont des polynômes entiers en q s’obtenant comme 1l suit.

La relation de définition donne immédiatement

1+2371 1+grz 1 gx fx (3) A

1+ gs l 143 g'+az ia (&),

fn(g 4) =

c’est-à-dire - | (g'+ 23)fn(g2z)=(1+ gz)f, (2),

d’où en remplaçant É” par son développement (60), et égalant les coefficients de z5+1, (g<n),

QUEIFEN g+41 + QE = Ag+1 + Ye, puis la relation générale entre deux coefficients consécutifs .

I [= J'UrE

ete Nas

Si, maintenant, on fait successivement dans cette récurrence g—=k,k+i,...,(n—:1), si l’on multiplie membre à membre, et si l’on observe que 4, est nécessairement égal à-qii Fees produit des coefficients de z dans les x derniers facteurs de l'expression (68), on trouve pour l’expression générale de 04,

(1 CR gu+i+k)(i A." qu+ritk+1) ARE (1 EE ve, TES Æ(k—1)

de 2 fx US 9 ) (1 9) UE EE 7

IT. Quand » augmente indéfiniment, f,(z) a pour limite. fz)=[G+z)G+gz)G+ gs)... [+ gs 1) + A) RO À

parce que les séries factorielles entre crochets sont convergentes pour la même cause que celles de la relation (63); et il est évident (370) que le polynôme a; se change en une série entière en g, dont la somme est précisément ax, coefficient de z# dans le développement de f(z) en série doublement infinie procédant suivant les puissances de 3 à exposants entiers positifs et négatifs.