CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

selon que o(u) est du troisième ou du quatrième degré. Dans le premier cas, €(æ) a un infini double (305, 1), et l'intégrale est méromorphe. Dans le second, €(x) a deux infinis simples (in- Greg + Cj a, B désignent 1c1 ces infinis de C(x), et A, — A, les résidus correspondants (328). De même pour la seconde de ces intégrales, dont la nature dépend en outre des valeurs des coefficients des premiers termes du développement de £(x) en série procédant suivant les

congrus) et l'intégrale a pour valeur A /

puissances de (æ — x) à exposants entiers, les premiers négatifs, différence où «& représente un infini de la fonction.

Comme A n’est pas un zéro de o(u) (224), cette quantité n’est pas une valeur cardinale de €(x) (304, IV), la fonction figurant dans l'intégrale (6) n’a que des infinis simples, et celle-ci a toujours des phases singulières logarithmiques.

Si A était un zéro de o(uw), c’est-à-dire une valeur cardinale de E(x), la fonction sous le signe J n'aurait que des infinis doubles, et l'intégrale serait méromorphe. Cette influence de Ja valeur de à sur la nature de l'intégrale, s'accorde avec la distinction analogue que nous avons dàû faire dans la réduction de l’intégrale ultra-elliptique.

Plus tard (415 et suiv., nf.) nous achèverons cette solution, en transformant les intégrales elliptiques de façon à spécifier la fonction £(x) de la manière la plus avantageuse.

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