CHAPITRE XL

SUITE DES TROIS PRÉCÉDENTS. — POINTS SAILLANTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE.

Expression d’une fonction bipériodique quelconque au moyen d’une fonction du second ordre aux mêmes périodes. — Addition et soustraction des arguments; multiplication et division.

379. Dans sa maille élémentaire, une fonction bipériodique du second ordre ne peut avoir que deux infinis simples ou un seul infini double (321), et nous avons remarqué (323) que les fonctions E(x), E, (x), étudiées au début de cette théorie, sont du second ordre.

Réciproquement, toute fonction bipériodique du second ordre u = f(x) estune fonction E(x)stses tnfinis sont simples, une fonction E,(x) s'ils sont doubles.

Nous reportant au n° 333, nous remarquerons que dans le premier cas On am — 2, ÿ — 2, d'où m+Y—/; uses! donc l’intéorale d’une équation différentielle de la forme

(1) (SE) e(u)—0,

où w(u) est un polynôme de degré effectif 4, et sans facteur mul-

tiple. Effectivement si $(w) était divisible par (w — a)?, la sub-

ee I 4 > à x. A stitutionu—=a+ changerait l'équation différentielle (1) en une

: do . , autre exprimant > par un radical carré portant sur un polynôme

en #, du deuxième degré seulement, et 6, w par suite, ne seraient pas bipériodiques (228 et sure.).

Or l'équation différentielle (1) est bien celle d’une fonction E(x), et le raisonnement est le même pour le second cas de l'énoncé.