CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

Cette identité complète entre les fonctions du second ordre et les foncuons E(x), E,(x) nous permet de confondre désormais toutes celles-ci sous la dénomination de fonctions du second ordre, les premières à infinis simples, les dernières à infinis

doubles.

380. De toutes les fonctions bipériodiques méromorphes, celles du second ordre sont les plus simples, notamment par leur équation différentielle (333); en outre, toutes les autres leur sont liées par de simples équations du premier ou du deuxième degré (331). A ce double titre, elles méritent donc une étude plus approfondie ; mais l’exiguité de notre cadre n’en comporte pas les détails étendus et minutieux, et nous devons nous borner à de simples aperçus.

Une fonction du second ordre dépend de six paramètres, en particulier des cinq coefficients du polynôme du quatrième degré en & qui figure dans l’équation différentielle (celui de u* étant — 0 pour les fonctions à infinis doubles), et de la valeur qu'elle prend pour une valeur initiale donnée de x, l'ambiguïté comportée par ces données se levant par la désignation de celle des deux valeurs opposées du radical, à choisir pour sa valeur initiale.

Mais il est souvent avantageux de choisir ces paramètres d’une autre manière. On peut prendre à cet effet les deux périodes, la constante supplémentaire, un zéro, un tnfint, et la valeur de la fonction qui correspond à une valeur de x n'étant ni un zéro ni un infint. Il résulte effectivement : 1° du n° 354, qu'on peut toujours construire une fonction du second ordre pour laquelle ces six objets aiént des valeurs données quelconques (n'impliquant toutefois aucune contradiction, comme par exemple si le moment des périodes données était nul, si la valeur du zéro donné élail congrue à celle de l'infini, etc.); 2° du n° 334, que deux foncions du second ordre ne peuvent salisfaire simultanément à toutes ces conditions sans être identiques.

Ce sont tels ou tels de ces paramètres, qui habituellement entrent, explicitement ou implicitement, dans les formules relalives aux fonctions du second ordre.

381. Soient u — f(x) une fonction du second ordre ayant S pour constante supplémentaire, et U—F(x) une fonction

d'ordre m admettant les périodes élémentaires de f(x); F(x) s'exprime algébriquement au moyen de f(x) :

1° St l’on «a l’identité

par la formule 3) F(æ)=

M, L désignant des polynômes entiers en f(x) sans facteur commun, dans l’ensemble desquels le degré effectif de cette:

S ; “RTE m ' à , Jonction atteint précisément me (alors nécessairement entrer');

2% Sinon, par la formule

| F (7) 2 ME NVSt

ES ESS nn

L(f) représentant le polynôme du quatrième ou du troisième degré en f(x), produit des excès de cette fonction sur ses quatre ou trois valeurs cardinales (304, IV), (305), et L, M, N crors polynômes entiers en f, dont les degrés ne peuvent respectivement surpasser les limites m, m, m — 2.

TI. La première partie de notre énoncé est un simple cas particulier du théorème du n° 331, où l’on .a d = 2 à cause de l’identité (2),

IL. Si f(x) est la fonction u = E(x) étudiée aux n°5 302 et suivants, et si l’on appelle y(u) un polynôme entier en u sans facteurs multiples, la condition nécessaire et sufjisante pour: que Vy(u) soit fonction méromorphe de x est que 4 (u) se réduise

au produit d’une constante par un nombre pair des facteurs linéaires de w(u),

En vertu de la théorie des radicaux (125), celui que nous considérons ne peut cesser d’être fonction méromorphe de x que pour quelque valeur de + rendant (u) nul ou infini; et alors 1l cesse