On peut mettre la formule (4) sous la forme

(7) E(r)= TR, se réduisant à

st l’on a par hasard

(9) F(S—zx)=—F(x).

À cause de l’équation différentielle de la fonction du second ordre f (319), et à un facteur constant près, le radical de l’expression (4) se réduit précisément à f(x), d’où la formule (7).

La différentiation de l'identité fondamentale

(10) J(S—x)= Jr) donne (11) FS—x)= f(x).

Si donc la relation (9) a lieu, le changement de x en S— x dans (3) n’y change que le signe du premier membre et celui du dernier terme du numérateur du second membre. On en conclut M — 0, puis la formule (8).

383. Le théorème précédent trouve une application intéressante dans la démonstration de celui-ci.

En appelant x, y deux variables indépendantes, on a

Ga) ONE) TEE SR

où À, B,C, D, H sont des polynômes entiers en f(x), f(y), sans diviseur commun à tous, jouissant en outre des propriétés suivantes : À, D, H sont symétriques par rapport à f(x), f(y), mais la permutation de ces dernières fonctions change Ben C, et inversement; les paires de degrés maximums en f(x), f(y), des 5 polynômes À, B, C, D, H sont respectivement (2,2), (0,2),

I. Comme f(x + y) est, pour toute valeur de y, une fonction de +, bipériodique et du second ordre, admettant les périodes élémentaires IT, Q de f(x), elle s'exprime au moyen de cette dernière par la formule (5), N étant indépendant de f(x), L, M étant des polynômes entiers en f(x), de degré 2 au plus. On trouve ainsi

Mo + M; M, N (3) HEMOSER Re fr)

où maintenant L;, ...,M,;, ..., N, sont tous indépendants de x.

En y changeant x en S — x, puis en ayant égard aux identités (10), (11), 1l vient une autre relation qui, retranchée membre à membre de la précédente, conduit à celle-ci

Lo UC) N (x) Si + [S(&)E Ne 2 —————— à FR fan 600 dont le second membre est, pour toute valeur de x, une fonction bipériodique de y, aux périodes IT, Q, En attribuant maintenant à æ trois valeurs particulières x,, +2, æ:, telles que f(x), f(æ»), f(Z3) soient deux à deux inégales, on déduira de cette relation

trois équations linéaires simultanées, d’où les rapports D | PP NN 20

pourront être tirés, parce que leurs coefficients y ont un déterminant ;< 0 (411*, Il). Et les expressions de ces rapports sont ainsi