CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

des fonctions bipériodiques de y, aux périodes IT, Q communes aux trois seconds membres.

En y ayant égard, et en raisonnant exactement de la même manière sur l'équation (13), on constatera que les trois autres

rapports Mo Mi M

NAN No d’autres termes, les 7 coefficients L,, ... sont proportionnels, égaux même comme on peut évidemment le supposer, à autant de fonctions bipériodiques de y aux périodes I, Q, partant exprimables en f(y), f'(y) par des formules du genre de (7).

Ces raisonnements supposent que N, n’est pas —0, quelle que

sont de même nature que les précédents; en

soit 7; or c’est ce qui a lieu. Car autrement, on aurait, quelles que

fussent et y, f(x +y)—/f(S—x+y)—f CAS) identité

dont la fausseté est évidente.

IT. On mettra ensuite la formule (13) sous la forme (12), en y portant ces expressions de L, ..., multipliant les deux termes du second membre par ce que devient son dénominateur quand on y substitue — f'(y) à f'(y), remplaçant partout [f(y)f? par son expression entière en f(y), 2[f(y)] tirée de l'équation différentielle de f(7)(379), en supprimant enfin tout facteur entier en f(x), f(y), qui diviserait à la fois le dénominateur et les coef-

ficients de 1, f(x), f'(y), f(x) f'(y) au numérateur.

III. Permutons maintenant + et y, appelons L, ... ce que deviennent À, ..., et égalons identiquement cette nouvelle expression de f(x + y) à la première (12); on obtient ainsi

(Hd = 5A)<+ (HE — SB) (2) + (Hb — $C) (7) + (HP —6$D) f(x) F7) = 0.

Mais, comme les équations différentielles de f(x), f(y) sont entières et du deuxième degré en f(x), FT) (379), de plus irréductibles (333), cette relation ne peut avoir lieu, quelles que soient z, y (339, IT), sans que les polynômes en f(x), f(y) y multipliant 1, f(æ), fy), f(æ) f(y) soient tous identiquement nuls, ce qui

donne