CHAPITRE XI. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES DU SECOND ORDRE

Le second système est irréalisable, car il donnerait (18) a+c—=b+d,

puis ac(d—a)+bd(b —c)=0o.

Cette égalité combinée avec la précédente

conduirait soit à d—a—b—c—o, ce qui est impossible, puisque a, b, c, d sont des quantités toutes inégales, soit à

(19) ac 0

ce qui est impossible encore, car les égalités (18) et (19) entraineraient pour @&, c la propriété d’être respectivement égales à b, d DINasd, D.

Le troisième système l’est également pour des raisons semblables. Le premier système seul est possible ; il entraîne légalité (15), puis ,

conditions nécessaires et suffisantes pour que l’identité (15) puisse avoir lieu.

IT. Si l'égalité (15) n'existe pas, (x)? ne peut ainsi avoir d’autres périodes que celles de E(x); et comme les périodes élémentaires de X (x) appartiennent à son carré, elles sont néces-

sairement des formes I, — pi mu Q, 1 = rl + S Q.

[nt D

Mais en raisonnant exactement comme au n° 381, IIL, on trouvera

(20) N(x+H)—= JI(T),

il faut donc que g, s soient des entiers pairs et l’on obtiendra II,, O,, en donnant au déterminant (ps — gr) sa valeur minimum qui

est ici + 2. On pourra donc prendre AIT JO

comme le dit notre énoncé.

Les infinis de X(x) sont évidemment ceux de E(x), simples aussi, et sa maille élémentaire, double de celle de E(x), en conlient 4; celte fonction est donc du quatrième ordre.